Math  /  Geometry

Question8 Das Dach eines Turms hat die Form eines Kegels mit der Höhe 6 m und dem Grundflächenradius 3 m . Berechne die Materialkosten für die Neueindeckung des Dachs, wenn der Preis pro Quadratmeter 8787 € beträgt.

Studdy Solution

STEP 1

Was wird gefragt? Wir sollen die Kosten für die Neueindeckung eines kegelförmigen Turmdachs berechnen, wenn wir die Höhe, den Radius und die Kosten pro Quadratmeter kennen. Vorsicht! Nicht die Fläche des Kreises berechnen, sondern die Mantelfläche des Kegels!

STEP 2

1. Mantelfläche berechnen
2. Gesamtkosten berechnen

STEP 3

Die Formel für die Mantelfläche MM eines Kegels lautet M=πrsM = \pi \cdot r \cdot s, wobei rr der Radius der Grundfläche und ss die Seitenlänge des Kegels ist.
Wir haben den Radius r=3mr = 3 \, \text{m} gegeben.

STEP 4

Die Seitenlänge ss können wir mit dem Satz des Pythagoras berechnen, da die Höhe h=6mh = 6 \, \text{m} und der Radius r=3mr = 3 \, \text{m} ein rechtwinkliges Dreieck mit der Seitenlänge ss als Hypotenuse bilden.
Also: s=h2+r2s = \sqrt{h^2 + r^2}.

STEP 5

Mit h=6mh = 6 \, \text{m} und r=3mr = 3 \, \text{m} ergibt sich: s=62+32=36+9=45=95=35ms = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \, \text{m}.
Super!

STEP 6

Jetzt setzen wir r=3mr = 3 \, \text{m} und s=35ms = 3\sqrt{5} \, \text{m} in die Formel für die Mantelfläche ein: M=π3m35m=9π5m2M = \pi \cdot 3 \, \text{m} \cdot 3\sqrt{5} \, \text{m} = 9\pi\sqrt{5} \, \text{m}^2.
Das ist die **Mantelfläche** des Kegels!

STEP 7

Die Kosten pro Quadratmeter betragen $87\$87 \, €.

STEP 8

Um die Gesamtkosten zu berechnen, multiplizieren wir die Mantelfläche mit den Kosten pro Quadratmeter: Gesamtkosten =9π5m2$87m2=$783π5= 9\pi\sqrt{5} \, \text{m}^2 \cdot \$87 \, \frac{€}{\text{m}^2} = \$783\pi\sqrt{5} \, €.

STEP 9

Das Ergebnis können wir runden: Gesamtkosten $5513.16\approx \$5513.16 \, €.

STEP 10

Die Materialkosten für die Neueindeckung des Dachs betragen ungefähr $5513.16\$5513.16 \, €.

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