Math Snap

STEP 1

Założenia
1. Musimy obliczyć wartość granicy wyrażenia:
$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}$$ 2. Znamy wartości funkcji sinus dla odpowiednich kątów:
- $\sin(\pi/6) = 1/2$
- $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$
- $\sin(\pi/2) = 1$

STEP 2

Zauważmy, że wyrażenie wewnętrzne to suma trzech potęg funkcji sinus:
$$\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$$

STEP 3

Obliczmy wartości funkcji sinus podniesionych do potęgi $n$:
1. $\sin^n(\pi/6) = (1/2)^n$
2. $\sin^n(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^n$
3. $\sin^n(\pi/2) = 1^n = 1$

STEP 4

Zauważmy, że dla dużych wartości $n$, największy wkład do sumy $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ będzie miała największa wartość, czyli $1$.

STEP 5

Zatem dla dużych $n$, suma $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ jest zdominowana przez $1$.

STEP 6

Rozważmy granicę wyrażenia:
$$\lim_{n \to \infty} \left((1/2)^n + (\sqrt{3}/2)^n + 1\right)^{1/n}$$

STEP 7

Dla dużych $n$, $(1/2)^n \to 0$ oraz $(\sqrt{3}/2)^n \to 0$, więc wyrażenie upraszcza się do:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \text{małe wartości}\right)^{1/n}$$

STEP 8

Ponieważ $1^{1/n} = 1$ dla dowolnego $n$, granica wyrażenia wynosi:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1\right)^{1/n} = 1$$

Zatem wartość granicy wynosi 1.