Math / Calculus

Question9. Calculate the value of the following limit: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}$

Studdy Solution

STEP 1

Założenia
1. Musimy obliczyć wartość granicy wyrażenia: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}$
2. Znamy wartości funkcji sinus dla odpowiednich kątów: - $\sin(\pi/6) = 1/2$ - $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ - $\sin(\pi/2) = 1$

STEP 2

Zauważmy, że wyrażenie wewnętrzne to suma trzech potęg funkcji sinus: $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$

STEP 3

Obliczmy wartości funkcji sinus podniesionych do potęgi $n$ :
1. $\sin^n(\pi/6) = (1/2)^n$
2. $\sin^n(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^n$
3. $\sin^n(\pi/2) = 1^n = 1$

STEP 4

Zauważmy, że dla dużych wartości $n$ , największy wkład do sumy $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ będzie miała największa wartość, czyli $1$ .

STEP 5

Zatem dla dużych $n$ , suma $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ jest zdominowana przez $1$ .

STEP 6

Rozważmy granicę wyrażenia: $\lim_{n \to \infty} \left((1/2)^n + (\sqrt{3}/2)^n + 1\right)^{1/n}$

STEP 7

Dla dużych $n$ , $(1/2)^n \to 0$ oraz $(\sqrt{3}/2)^n \to 0$ , więc wyrażenie upraszcza się do: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \text{małe wartości}\right)^{1/n}$

STEP 8

Ponieważ $1^{1/n} = 1$ dla dowolnego $n$ , granica wyrażenia wynosi: $\lim_{n \to \infty} \left(1\right)^{1/n} = 1$

STEP 9

Zatem wartość granicy wynosi 1.

Was this helpful?

Question9. Calculate the value of the following limit: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}$

Studdy Solution

STEP 1

Założenia
1. Musimy obliczyć wartość granicy wyrażenia: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}$
2. Znamy wartości funkcji sinus dla odpowiednich kątów: - $\sin(\pi/6) = 1/2$ - $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ - $\sin(\pi/2) = 1$

STEP 2

Zauważmy, że wyrażenie wewnętrzne to suma trzech potęg funkcji sinus: $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$

STEP 3

Obliczmy wartości funkcji sinus podniesionych do potęgi $n$ :
1. $\sin^n(\pi/6) = (1/2)^n$
2. $\sin^n(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^n$
3. $\sin^n(\pi/2) = 1^n = 1$

STEP 4

Zauważmy, że dla dużych wartości $n$ , największy wkład do sumy $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ będzie miała największa wartość, czyli $1$ .

STEP 5

Zatem dla dużych $n$ , suma $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ jest zdominowana przez $1$ .

STEP 6

Rozważmy granicę wyrażenia: $\lim_{n \to \infty} \left((1/2)^n + (\sqrt{3}/2)^n + 1\right)^{1/n}$

STEP 7

Dla dużych $n$ , $(1/2)^n \to 0$ oraz $(\sqrt{3}/2)^n \to 0$ , więc wyrażenie upraszcza się do: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \text{małe wartości}\right)^{1/n}$

STEP 8

Ponieważ $1^{1/n} = 1$ dla dowolnego $n$ , granica wyrażenia wynosi: $\lim_{n \to \infty} \left(1\right)^{1/n} = 1$

STEP 9

Zatem wartość granicy wynosi 1.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question9. Calculate the value of the following limit: lim⁡n→∞(sin⁡n(π/6)+sin⁡n(π/3)+sin⁡n(π/2))1/n\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}n→∞lim​(sinn(π/6)+sinn(π/3)+sinn(π/2))1/n

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

Zauważmy, że wyrażenie wewnętrzne to suma trzech potęg funkcji sinus: sin⁡n(π/6)+sin⁡n(π/3)+sin⁡n(π/2)\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)sinn(π/6)+sinn(π/3)+sinn(π/2)

STEP 3

Obliczmy wartości funkcji sinus podniesionych do potęgi nnn:1. sin⁡n(π/6)=(1/2)n\sin^n(\pi/6) = (1/2)^nsinn(π/6)=(1/2)n2. sin⁡n(π/3)=(3/2)n\sin^n(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^nsinn(π/3)=(3​/2)n3. sin⁡n(π/2)=1n=1\sin^n(\pi/2) = 1^n = 1sinn(π/2)=1n=1

STEP 4

Zauważmy, że dla dużych wartości nnn, największy wkład do sumy sin⁡n(π/6)+sin⁡n(π/3)+sin⁡n(π/2)\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)sinn(π/6)+sinn(π/3)+sinn(π/2) będzie miała największa wartość, czyli 111.

STEP 5

Zatem dla dużych nnn, suma sin⁡n(π/6)+sin⁡n(π/3)+sin⁡n(π/2)\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)sinn(π/6)+sinn(π/3)+sinn(π/2) jest zdominowana przez 111.

STEP 6

Rozważmy granicę wyrażenia: lim⁡n→∞((1/2)n+(3/2)n+1)1/n\lim_{n \to \infty} \left((1/2)^n + (\sqrt{3}/2)^n + 1\right)^{1/n}n→∞lim​((1/2)n+(3​/2)n+1)1/n

STEP 7

Dla dużych nnn, (1/2)n→0(1/2)^n \to 0(1/2)n→0 oraz (3/2)n→0(\sqrt{3}/2)^n \to 0(3​/2)n→0, więc wyrażenie upraszcza się do: lim⁡n→∞(1+małe wartosˊci)1/n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \text{małe wartości}\right)^{1/n}n→∞lim​(1+małe wartosˊci)1/n

STEP 8

Ponieważ 11/n=11^{1/n} = 111/n=1 dla dowolnego nnn, granica wyrażenia wynosi: lim⁡n→∞(1)1/n=1\lim_{n \to \infty} \left(1\right)^{1/n} = 1n→∞lim​(1)1/n=1

STEP 9

Zatem wartość granicy wynosi 1.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question9. Calculate the value of the following limit: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}$

Zauważmy, że wyrażenie wewnętrzne to suma trzech potęg funkcji sinus: $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$

Obliczmy wartości funkcji sinus podniesionych do potęgi $n$ :
1. $\sin^n(\pi/6) = (1/2)^n$
2. $\sin^n(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^n$
3. $\sin^n(\pi/2) = 1^n = 1$

Zauważmy, że dla dużych wartości $n$ , największy wkład do sumy $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ będzie miała największa wartość, czyli $1$ .

Zatem dla dużych $n$ , suma $\sin^n(\pi/6) + \sin^n(\pi/3) + \sin^n(\pi/2)$ jest zdominowana przez $1$ .

Rozważmy granicę wyrażenia: $\lim_{n \to \infty} \left((1/2)^n + (\sqrt{3}/2)^n + 1\right)^{1/n}$

Dla dużych $n$ , $(1/2)^n \to 0$ oraz $(\sqrt{3}/2)^n \to 0$ , więc wyrażenie upraszcza się do: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \text{małe wartości}\right)^{1/n}$

Ponieważ $1^{1/n} = 1$ dla dowolnego $n$ , granica wyrażenia wynosi: $\lim_{n \to \infty} \left(1\right)^{1/n} = 1$