Math  /  Calculus

Question9. Calculate the value of the following limit: limn(sinn(π/6)+sinn(π/3)+sinn(π/2))1/n\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}
ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Mamy do czynienia z granicą ciągu.
2. Funkcje sinusowe są ograniczone i przyjmują wartości w przedziale [1,1][-1, 1].
3. Skorzystamy z własności granic i funkcji wykładniczych.

STEP 2

1. Oblicz wartości sin(π/6)\sin(\pi / 6), sin(π/3)\sin(\pi / 3), sin(π/2)\sin(\pi / 2).
2. Zastosuj wzór na granicę iloczynu funkcji.
3. Oblicz granicę.

STEP 3

Najpierw obliczamy wartości funkcji sinus dla podanych kątów:
sin(π/6)=12\sin(\pi / 6) = \frac{1}{2} sin(π/3)=32\sin(\pi / 3) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin(π/2)=1\sin(\pi / 2) = 1

STEP 4

Rozważamy wyrażenie pod granicą:
(sinn(π/6)+sinn(π/3)+sinn(π/2))1/n\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n}
Zauważamy, że sin(π/2)=1\sin(\pi / 2) = 1 jest największą wartością spośród sin(π/6)\sin(\pi / 6), sin(π/3)\sin(\pi / 3), sin(π/2)\sin(\pi / 2).

STEP 5

Zastosujemy wzór na granicę iloczynu funkcji:
limn(an+bn+cn)1/n=max(limnan1/n,limnbn1/n,limncn1/n)\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n + b_n + c_n\right)^{1/n} = \max(\lim _{n \rightarrow \infty} a_n^{1/n}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_n^{1/n}, \lim _{n \rightarrow \infty} c_n^{1/n})
gdzie an=sinn(π/6)a_n = \sin^n(\pi / 6), bn=sinn(π/3)b_n = \sin^n(\pi / 3), cn=sinn(π/2)c_n = \sin^n(\pi / 2).
Ponieważ sin(π/2)=1\sin(\pi / 2) = 1, mamy:
limnsinn(π/2)1/n=1\lim _{n \rightarrow \infty} \sin^n(\pi / 2)^{1/n} = 1
Dla pozostałych:
limn(12)n/n=0\lim _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n/n} = 0 limn(32)n/n=0\lim _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n/n} = 0

STEP 6

Zatem:
limn(sinn(π/6)+sinn(π/3)+sinn(π/2))1/n=1\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin ^{n}(\pi / 6)+\sin ^{n}(\pi / 3)+\sin ^{n}(\pi / 2)\right)^{1 / n} = 1
Wartość granicy wynosi:
1 \boxed{1}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord