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Question9. Nach Angaben der Post erreichen 90%90 \% aller Inlandsbriefe den Empfänger am nächsten Tag. Johanna verschickt acht Einladungen zu ihrem Geburtstag. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a) sind alle Briefe am nächsten Tag zugestellt? b) sind mindestens sechs Briefe am nächsten Tag zugestellt?

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Johanna schickt acht Briefe und wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass alle oder mindestens sechs davon am nächsten Tag ankommen, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Brief bei 90% liegt. Vorsicht! Wir arbeiten hier mit Wahrscheinlichkeiten, also nicht mit absoluten Zahlen!
Verwechsel nicht "mindestens sechs" mit "genau sechs".

STEP 2

1. Wahrscheinlichkeit für alle Briefe
2. Wahrscheinlichkeit für mindestens sechs Briefe

STEP 3

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit, dass *alle* acht Briefe am nächsten Tag ankommen.
Die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Brief ist 0.9\text{0.9} oder 90%90\%.

STEP 4

Da die Zustellung jedes Briefes unabhängig von den anderen ist, **multiplizieren** wir die Einzelwahrscheinlichkeiten, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass alle acht Briefe ankommen.
Das ist wie beim Münzwurf: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander Kopf zu werfen, ist 0.50.5=0.250.5 \cdot 0.5 = 0.25.

STEP 5

Also: 0.90.90.90.90.90.90.90.9=0.980.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 0.9^8.
Das ergibt ungefähr 0.43\textbf{0.43}.

STEP 6

"Mindestens sechs" bedeutet, dass sechs, sieben oder alle acht Briefe ankommen können.
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeiten für diese drei Fälle einzeln und **addieren** sie dann.

STEP 7

**Sechs Briefe:** Wir verwenden die Binomialverteilung!
Die Formel dafür ist: P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.
Hier ist n=8n=8 (Anzahl der Briefe), k=6k=6 (Anzahl der erfolgreichen Zustellungen), und p=0.9p=0.9 (Wahrscheinlichkeit für eine erfolgreiche Zustellung).
Also: (86)0.96(10.9)86=(86)0.960.12280.5310.010.149\binom{8}{6} \cdot 0.9^6 \cdot (1-0.9)^{8-6} = \binom{8}{6} \cdot 0.9^6 \cdot 0.1^2 \approx 28 \cdot 0.531 \cdot 0.01 \approx \textbf{0.149}.

STEP 8

**Sieben Briefe:** Hier ist k=7k=7.
Also: (87)0.970.1180.4780.10.383\binom{8}{7} \cdot 0.9^7 \cdot 0.1^1 \approx 8 \cdot 0.478 \cdot 0.1 \approx \textbf{0.383}.

STEP 9

**Acht Briefe:** Das haben wir schon in Schritt 2.1. berechnet: 0.980.430.9^8 \approx \textbf{0.43}.

STEP 10

Jetzt **addieren** wir die drei Wahrscheinlichkeiten: 0.149+0.383+0.430.9620.149 + 0.383 + 0.43 \approx \textbf{0.962}.

STEP 11

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Briefe am nächsten Tag ankommen, beträgt ungefähr \textbf{43%}. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens sechs Briefe am nächsten Tag ankommen, beträgt ungefähr \textbf{96.2%}.

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