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STEP 1

1. O limite dado é uma forma indeterminada do tipo $\frac{0}{0}$.
2. Precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

STEP 2

1. Verificar a forma indeterminada.
2. Simplificar a expressão usando fatoração.
3. Calcular o limite após a simplificação.

STEP 3

Primeiro, substituímos $x = 2$ na expressão para verificar se é uma forma indeterminada:
$$\frac{(2)^4 - 5(2) - 6}{4(2) - 8} = \frac{16 - 10 - 6}{8 - 8} = \frac{0}{0}$$ Como a expressão resulta em $\frac{0}{0}$, é uma forma indeterminada.

STEP 4

Precisamos simplificar a expressão. Vamos tentar fatorar o numerador $x^4 - 5x - 6$.
Para fatorar, procuramos raízes do polinômio. Testamos $x = 2$ como raiz:
$$2^4 - 5(2) - 6 = 16 - 10 - 6 = 0$$ Portanto, $x = 2$ é uma raiz. Podemos dividir o polinômio por $x - 2$ usando divisão sintética ou polinomial.
Após a divisão, obtemos:
$$x^4 - 5x - 6 = (x - 2)(x^3 + 2x^2 + 4x + 3)$$

STEP 5

Agora, simplificamos a expressão original:
$$\frac{(x - 2)(x^3 + 2x^2 + 4x + 3)}{4x - 8}$$ O denominador também pode ser fatorado:
$$4x - 8 = 4(x - 2)$$ Cancelamos o fator comum $x - 2$:
$$\frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 3}{4}$$

Agora, calculamos o limite substituindo $x = 2$ na expressão simplificada:
$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 3}{4}$$ Substituímos $x = 2$:
$$\frac{(2)^3 + 2(2)^2 + 4(2) + 3}{4} = \frac{8 + 8 + 8 + 3}{4} = \frac{27}{4}$$ O valor do limite é:
$$\boxed{\frac{27}{4}}$$