Math / Calculus

Question a. $y=\left(x^{2}+x\right)^{3}+x$ ß. $x=y^{3}+2 y+1$ \%. $y=\ln \left(2 x^{3}+x+2\right)$ . $\qquad$ $-0$ $x=3 y^{2}+$

Studdy Solution

STEP 1

1. Πρέπει να βρούμε την παράγωγο $\frac{dx}{dy}$ για τις δοθείσες συναρτήσεις.
2. Θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της αλυσίδας και άλλες τεχνικές διαφορισμού, όπως η αντίστροφη παραγώγιση και η παραγώγιση λογαριθμικών συναρτήσεων.
3. Υποθέτουμε ότι όλες οι συναρτήσεις είναι αρκετά ομαλές και παραγώγιμες.

STEP 2

1. Διαφορισμός της συνάρτησης $y = (x^2 + x)^3 + x$ ως προς $x$ και εύρεση της $\frac{dx}{dy}$ .
2. Διαφορισμός της συνάρτησης $x = y^3 + 2y + 1$ ως προς $y$ και εύρεση της $\frac{dx}{dy}$ .
3. Διαφορισμός της συνάρτησης $y = \ln(2x^3 + x + 2)$ ως προς $x$ και εύρεση της $\frac{dx}{dy}$ .

STEP 3

Διαφορίστε τη συνάρτηση $y = (x^2 + x)^3 + x$ ως προς $x$ .
$\frac{dy}{dx} = 3(x^2 + x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + x) + 1$

STEP 4

Υπολογίστε την παράγωγο του $x^2 + x$ .
$\frac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1$

STEP 5

Αντικαταστήστε την παράγωγο στο αρχικό αποτέλεσμα.
$\frac{dy}{dx} = 3(x^2 + x)^2 (2x + 1) + 1$

STEP 6

Αντιστρέψτε την εξίσωση για να βρείτε τη $\frac{dx}{dy}$ .
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{3(x^2 + x)^2 (2x + 1) + 1}$

STEP 7

Διαφορίστε τη συνάρτηση $x = y^3 + 2y + 1$ ως προς $y$ .
$\frac{dx}{dy} = 3y^2 + 2$

STEP 8

Διαφορίστε τη συνάρτηση $y = \ln(2x^3 + x + 2)$ ως προς $x$ .
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x^3 + x + 2} \cdot \frac{d}{dx}(2x^3 + x + 2)$

STEP 9

Υπολογίστε την παράγωγο του $2x^3 + x + 2$ .
$\frac{d}{dx}(2x^3 + x + 2) = 6x^2 + 1$

STEP 10

Αντικαταστήστε την παράγωγο στο αρχικό αποτέλεσμα.
$\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2 + 1}{2x^3 + x + 2}$

STEP 11

Αντιστρέψτε την εξίσωση για να βρείτε τη $\frac{dx}{dy}$ .
$\frac{dx}{dy} = \frac{2x^3 + x + 2}{6x^2 + 1}$
Solution for each part:
Για το (α):
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3(x^2 + x)^2 (2x + 1) + 1}$
Για το (β):
$\frac{dx}{dy} = 3y^2 + 2$
Για το (γ):
$\frac{dx}{dy} = \frac{2x^3 + x + 2}{6x^2 + 1}$

Was this helpful?

Get Studdy

Scan QR code with your device to get Studdy on iOS or Android

QR code

Studdy solves anything!

Download the app

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Parents Influencer program Contact Policy Terms