Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Questionالسؤال الاول : ( 25 علامة ) جد التكامل اكتب خطوات الحل )

Studdy Solution

STEP 1

1. نحن بحاجة إلى إيجاد التكامل ∫(sin⁡−1x) dx\int (\sin^{-1} x) \, dx.
2. سنستخدم التكامل بالتجزئة لحل هذا التكامل.

STEP 2

1. اختر u u و dv dv للتكامل بالتجزئة.
2. احسب du du و v v .
3. طبق صيغة التكامل بالتجزئة.
4. قم بحساب التكامل الناتج.

STEP 3

اختر u=sin⁡−1x u = \sin^{-1} x و dv=dx dv = dx .

STEP 4

احسب du du و v v :
du=11−x2 dx du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx v=∫dx=x v = \int dx = x

STEP 5

طبق صيغة التكامل بالتجزئة:
∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du
∫(sin⁡−1x) dx=xsin⁡−1x−∫x⋅11−x2 dx\int (\sin^{-1} x) \, dx = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx

STEP 6

قم بحساب التكامل الناتج:
∫x⋅11−x2 dx\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx
استخدم التعويض t=1−x2 t = 1 - x^2 حيث dt=−2x dx dt = -2x \, dx .
∫x⋅11−x2 dx=−12∫1t dt\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt
=−12⋅2t+C=−1−x2+C= -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C

STEP 7

استبدل التكامل المحسوب في المعادلة الأصلية:
∫(sin⁡−1x) dx=xsin⁡−1x+1−x2+C\int (\sin^{-1} x) \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C
الحل النهائي للتكامل هو:
xsin⁡−1x+1−x2+C\boxed{x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord