Math Snap

STEP 1

1. نحن بحاجة إلى إيجاد التكامل $\int (\sin^{-1} x) \, dx$.
2. سنستخدم التكامل بالتجزئة لحل هذا التكامل.

STEP 2

1. اختر $u$ و $dv$ للتكامل بالتجزئة.
2. احسب $du$ و $v$.
3. طبق صيغة التكامل بالتجزئة.
4. قم بحساب التكامل الناتج.

STEP 3

اختر $u = \sin^{-1} x$ و $dv = dx$.

STEP 4

احسب $du$ و $v$:
$$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$$ $$v = \int dx = x$$

STEP 5

طبق صيغة التكامل بالتجزئة:
$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ $$\int (\sin^{-1} x) \, dx = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$$

STEP 6

قم بحساب التكامل الناتج:
$$\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$$ استخدم التعويض $t = 1 - x^2$ حيث $dt = -2x \, dx$.
$$\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt$$ $$= -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$$

استبدل التكامل المحسوب في المعادلة الأصلية:
$$\int (\sin^{-1} x) \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$$ الحل النهائي للتكامل هو:
$$\boxed{x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C}$$