Math Snap

STEP 1

1. لدينا متتالية عددية معرفة بـ $a_n = 13$ لكل عدد طبيعي $n$.
2. لدينا متتالية عددية أخرى معرفة بـ $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ لكل عدد طبيعي $n$.
3. نحتاج إلى إثبات بعض الخصائص لكل متتالية ودراسة سلوكها.

STEP 2

1. إثبات بالتراجع أن $a_n$ ثابتة لكل عدد طبيعي $n$.
2. دراسة اتجاه تغير المتتالية $a_n$ واستنتاج تقاربها.
3. إثبات أن المتتالية $u_n$ حسابية وتعيين أساسها وحدها الأول.
4. كتابة $u_n$ بدلالة $n$ وحساب النهاية عند $n \to \infty$.

STEP 3

نبدأ بإثبات بالتراجع أن $a_n = 13$ لكل عدد طبيعي $n$.
الخطوة الأساسية: نلاحظ أن $a_0 = 13$.
الخطوة التراجعية: نفترض أن $a_k = 13$ ونثبت أن $a_{k+1} = 13$.
بما أن $a_n = 13$ لكل $n$، فإن $a_{k+1} = a_k = 13$.

STEP 4

ندرس اتجاه تغير المتتالية $a_n$.
بما أن $a_n = 13$ ثابتة، فإن المتتالية ثابتة ولا تتغير.
وبالتالي، المتتالية متقاربة إلى القيمة 13.

STEP 5

نثبت أن المتتالية $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ حسابية.
نحسب الفرق بين حدين متتاليين: $u_{n+1} - u_n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) - \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
بما أن الفرق ليس ثابتًا، فإن المتتالية ليست حسابية.

نكتب $u_n$ بدلالة $n$ ونحسب النهاية.
بما أن $u_n = 1 - \frac{1}{n}$، فإن $\lim_{n \to \infty} u_n = 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 1 - 0 = 1$.
وبالتالي، النهاية هي 1.
النهاية هي:
$$\boxed{1}$$