Math / Data & Statistics

Question```latex \textbf{Aufgabe 1: Badewanne}
In eine leere Badewanne wird eine gewisse Zeitlang gleichförmig Wasser eingelassen, dann die Wasserzufuhr gestoppt, gleichzeitig der Abfluss geöffnet und nach einer Weile wieder geschlossen. Das Bild oben links zeigt den Verlauf des Vorgangs.
\begin{enumerate} \item[a)] Bestimmen Sie, welche Wassermenge sich nach 2 Minuten in der Badewanne befand! (2 BE) \item[b)] Rekonstruieren Sie, welche Wassermenge insgesamt in dieser Zeit gepumpt wurde. (2 BE) \item[c)] Bestimmen Sie, nach welcher Zeit die Badewanne wieder leer ist! (2 BE) \item[d)] Rekonstruieren Sie auch, welche Wassermenge sich nach 2 Minuten in der Badewanne befand, wenn der Vorgang gemäß dem Bild oben rechts geschieht (die Funktionen lassen sich leicht bestimmen!). (4 BE) \end{enumerate} ```

Studdy Solution

STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir sollen herausfinden, wie sich die Wassermenge in einer Badewanne ändert, wenn Wasser ein- und abgelassen wird, und das Ganze für zwei verschiedene Szenarien! Vorsicht! Ein- und Abfluss verwechseln ist nicht cool!
Auch die Einheiten im Auge behalten: Liter pro Minute und Minuten!

STEP 2

1. Wassermenge nach 2 Minuten (linkes Diagramm)
2. Gesamte gepumpte Wassermenge (linkes Diagramm)
3. Zeit bis die Badewanne leer ist (linkes Diagramm)
4. Wassermenge nach 2 Minuten (rechtes Diagramm)

STEP 3

Okay, im linken Diagramm sehen wir, dass in der ersten Minute $5$ Liter pro Minute einlaufen.
Das heißt, nach einer Minute sind $1 \cdot 5 = 5$ Liter in der Wanne.

STEP 4

Dann wird der Abfluss geöffnet, und $5$ Liter pro Minute fließen ab.
Das passiert für eine Minute, also von Minute $1$ bis Minute $2$ .
Da $1 \cdot (-5) = -5$ Liter abfließen, sind nach $2$ Minuten nur noch $5 + (-5) = 0$ Liter in der Badewanne.

STEP 5

In der ersten Minute wurden $5$ Liter reingepumpt.
Das ist unsere gepumpte Menge.
Da danach nur noch Wasser abgelassen wurde, bleibt es bei diesen $5$ Litern.

STEP 6

Nach $2$ Minuten sind $0$ Liter in der Wanne (wie wir schon berechnet haben).
Der Abfluss läuft mit $5$ l/min weiter.

STEP 7

Die Badewanne ist schon nach $2$ Minuten leer!

STEP 8

Hier wird's spannend!
Die Zuflussgeschwindigkeit ändert sich linear.
Von $0$ bis $1{,}25$ Minuten steigt sie von $0$ auf $10$ l/min.
Das ist eine Gerade mit der Steigung $\frac{10 - 0}{1{,}25 - 0} = \frac{10}{1{,}25} = 8$ .
Die Gleichung für diese Gerade ist $f(t) = 8t$ .

STEP 9

Die Wassermenge, die in dieser Zeit einfließt, ist die Fläche unter der Geraden.
Das ist ein Dreieck mit der Grundseite $1{,}25$ und der Höhe $10$ .
Die Fläche ist also $\frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 10 = 6{,}25$ Liter.

STEP 10

Von $1{,}25$ bis $2{,}5$ Minuten fällt die Zuflussrate linear von $10$ auf $-10$ l/min.
Die Steigung ist $\frac{-10 - 10}{2{,}5 - 1{,}25} = \frac{-20}{1{,}25} = -16$ .
Die Gleichung der Geraden ist $g(t) = -16t + 30$ (mit $g(1{,}25) = 10$ und $g(2{,}5) = -10$ ).

STEP 11

Die Wassermenge in diesem Zeitraum ist wieder die Fläche unter dem Graphen.
Das ist ein Trapez.
Wir berechnen die Fläche des Dreiecks über der x-Achse: $\frac{1}{2} \cdot (2{,}5-1{,}25) \cdot \frac{10+0}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 5 = 3{,}125$ Liter.

STEP 12

Die Fläche des Dreiecks unter der x-Achse ist $\frac{1}{2} \cdot (2{,}5-2{,}1875) \cdot (-5) = -0{,}78125$ Liter.

STEP 13

Die eingeflossene Wassermenge von $t=1{,}25$ bis $t=2$ ist $3{,}125 - 0{,}78125 = 2{,}34375$ Liter.

STEP 14

Die gesamte Wassermenge nach $2$ Minuten ist die Summe der Teilmengen: $6{,}25 + 2{,}34375 = 8{,}59375$ Liter.

STEP 15

a) Nach 2 Minuten sind $0$ Liter Wasser in der Badewanne (linkes Diagramm). b) Es wurden insgesamt $5$ Liter Wasser in die Badewanne gepumpt (linkes Diagramm). c) Die Badewanne ist nach $2$ Minuten wieder leer (linkes Diagramm). d) Nach 2 Minuten befinden sich $8{,}59375$ Liter in der Badewanne (rechtes Diagramm).

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. Wassermenge nach 2 Minuten (linkes Diagramm)
2. Gesamte gepumpte Wassermenge (linkes Diagramm)
3. Zeit bis die Badewanne leer ist (linkes Diagramm)
4. Wassermenge nach 2 Minuten (rechtes Diagramm)

STEP 3

Okay, im linken Diagramm sehen wir, dass in der ersten Minute $5$ Liter pro Minute einlaufen.
Das heißt, nach einer Minute sind $1 \cdot 5 = 5$ Liter in der Wanne.

STEP 4

Dann wird der Abfluss geöffnet, und $5$ Liter pro Minute fließen ab.
Das passiert für eine Minute, also von Minute $1$ bis Minute $2$ .
Da $1 \cdot (-5) = -5$ Liter abfließen, sind nach $2$ Minuten nur noch $5 + (-5) = 0$ Liter in der Badewanne.

STEP 5

In der ersten Minute wurden $5$ Liter reingepumpt.
Das ist unsere gepumpte Menge.
Da danach nur noch Wasser abgelassen wurde, bleibt es bei diesen $5$ Litern.

STEP 6

Nach $2$ Minuten sind $0$ Liter in der Wanne (wie wir schon berechnet haben).
Der Abfluss läuft mit $5$ l/min weiter.

STEP 7

Die Badewanne ist schon nach $2$ Minuten leer!

STEP 8

Hier wird's spannend!
Die Zuflussgeschwindigkeit ändert sich linear.
Von $0$ bis $1{,}25$ Minuten steigt sie von $0$ auf $10$ l/min.
Das ist eine Gerade mit der Steigung $\frac{10 - 0}{1{,}25 - 0} = \frac{10}{1{,}25} = 8$ .
Die Gleichung für diese Gerade ist $f(t) = 8t$ .

STEP 9

Die Wassermenge, die in dieser Zeit einfließt, ist die Fläche unter der Geraden.
Das ist ein Dreieck mit der Grundseite $1{,}25$ und der Höhe $10$ .
Die Fläche ist also $\frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 10 = 6{,}25$ Liter.

STEP 10

Von $1{,}25$ bis $2{,}5$ Minuten fällt die Zuflussrate linear von $10$ auf $-10$ l/min.
Die Steigung ist $\frac{-10 - 10}{2{,}5 - 1{,}25} = \frac{-20}{1{,}25} = -16$ .
Die Gleichung der Geraden ist $g(t) = -16t + 30$ (mit $g(1{,}25) = 10$ und $g(2{,}5) = -10$ ).

STEP 11

Die Wassermenge in diesem Zeitraum ist wieder die Fläche unter dem Graphen.
Das ist ein Trapez.
Wir berechnen die Fläche des Dreiecks über der x-Achse: $\frac{1}{2} \cdot (2{,}5-1{,}25) \cdot \frac{10+0}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 5 = 3{,}125$ Liter.

STEP 12

Die Fläche des Dreiecks unter der x-Achse ist $\frac{1}{2} \cdot (2{,}5-2{,}1875) \cdot (-5) = -0{,}78125$ Liter.

STEP 13

Die eingeflossene Wassermenge von $t=1{,}25$ bis $t=2$ ist $3{,}125 - 0{,}78125 = 2{,}34375$ Liter.

STEP 14

Die gesamte Wassermenge nach $2$ Minuten ist die Summe der Teilmengen: $6{,}25 + 2{,}34375 = 8{,}59375$ Liter.

STEP 15

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STEP 1

STEP 2

1. Wassermenge nach 2 Minuten (linkes Diagramm)2. Gesamte gepumpte Wassermenge (linkes Diagramm)3. Zeit bis die Badewanne leer ist (linkes Diagramm)4. Wassermenge nach 2 Minuten (rechtes Diagramm)

STEP 3

Okay, im linken Diagramm sehen wir, dass in der ersten Minute 555 Liter pro Minute einlaufen.Das heißt, nach einer Minute sind 1⋅5=51 \cdot 5 = 51⋅5=5 Liter in der Wanne.

STEP 4

Dann wird der Abfluss geöffnet, und 555 Liter pro Minute fließen ab.Das passiert für eine Minute, also von Minute 111 bis Minute 222.Da 1⋅(−5)=−51 \cdot (-5) = -51⋅(−5)=−5 Liter abfließen, sind nach 222 Minuten nur noch 5+(−5)=05 + (-5) = 05+(−5)=0 Liter in der Badewanne.

STEP 5

In der ersten Minute wurden 555 Liter reingepumpt.Das ist unsere **gepumpte Menge**.Da danach nur noch Wasser abgelassen wurde, bleibt es bei diesen **555 Litern**.

STEP 6

Nach 222 Minuten sind 000 Liter in der Wanne (wie wir schon berechnet haben).Der Abfluss läuft mit 555 l/min weiter.

STEP 7

Die Badewanne ist schon nach 222 Minuten leer!

STEP 8

STEP 9

Die Wassermenge, die in dieser Zeit einfließt, ist die Fläche unter der Geraden.Das ist ein Dreieck mit der Grundseite 1,251{,}251,25 und der Höhe 101010.Die Fläche ist also 12⋅1,25⋅10=6,25\frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 10 = 6{,}2521​⋅1,25⋅10=6,25 Liter.

STEP 10

STEP 11

STEP 12

Die Fläche des Dreiecks unter der x-Achse ist 12⋅(2,5−2,1875)⋅(−5)=−0,78125\frac{1}{2} \cdot (2{,}5-2{,}1875) \cdot (-5) = -0{,}7812521​⋅(2,5−2,1875)⋅(−5)=−0,78125 Liter.

STEP 13

Die eingeflossene Wassermenge von t=1,25t=1{,}25t=1,25 bis t=2t=2t=2 ist 3,125−0,78125=2,343753{,}125 - 0{,}78125 = 2{,}343753,125−0,78125=2,34375 Liter.

STEP 14

Die gesamte Wassermenge nach 222 Minuten ist die Summe der Teilmengen: 6,25+2,34375=8,593756{,}25 + 2{,}34375 = 8{,}593756,25+2,34375=8,59375 Liter.

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1. Wassermenge nach 2 Minuten (linkes Diagramm)
2. Gesamte gepumpte Wassermenge (linkes Diagramm)
3. Zeit bis die Badewanne leer ist (linkes Diagramm)
4. Wassermenge nach 2 Minuten (rechtes Diagramm)

Okay, im linken Diagramm sehen wir, dass in der ersten Minute $5$ Liter pro Minute einlaufen.
Das heißt, nach einer Minute sind $1 \cdot 5 = 5$ Liter in der Wanne.

Dann wird der Abfluss geöffnet, und $5$ Liter pro Minute fließen ab.
Das passiert für eine Minute, also von Minute $1$ bis Minute $2$ .
Da $1 \cdot (-5) = -5$ Liter abfließen, sind nach $2$ Minuten nur noch $5 + (-5) = 0$ Liter in der Badewanne.

In der ersten Minute wurden $5$ Liter reingepumpt.
Das ist unsere gepumpte Menge.
Da danach nur noch Wasser abgelassen wurde, bleibt es bei diesen $5$ Litern.

Nach $2$ Minuten sind $0$ Liter in der Wanne (wie wir schon berechnet haben).
Der Abfluss läuft mit $5$ l/min weiter.

Die Badewanne ist schon nach $2$ Minuten leer!

Die Wassermenge, die in dieser Zeit einfließt, ist die Fläche unter der Geraden.
Das ist ein Dreieck mit der Grundseite $1{,}25$ und der Höhe $10$ .
Die Fläche ist also $\frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 10 = 6{,}25$ Liter.

Die Fläche des Dreiecks unter der x-Achse ist $\frac{1}{2} \cdot (2{,}5-2{,}1875) \cdot (-5) = -0{,}78125$ Liter.

Die eingeflossene Wassermenge von $t=1{,}25$ bis $t=2$ ist $3{,}125 - 0{,}78125 = 2{,}34375$ Liter.

Die gesamte Wassermenge nach $2$ Minuten ist die Summe der Teilmengen: $6{,}25 + 2{,}34375 = 8{,}59375$ Liter.