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Math  /  Algebra

QuestionAufgabe 3 Berechnen Sie den Schnittpunkt (falls vorhanden) der Geraden gg und hh. a) g(x)=2x−3;h(x)=−x+3g(x)=2 x-3 ; \quad h(x)=-x+3 b) g:3x−4y=27;h:x−y=8g: 3 x-4 y=27 ; h: x-y=8 c) g:4x−5y−8=0;h:5x+4y+31=0g: 4 x-5 y-8=0 ; \quad h: 5 x+4 y+31=0 d) g(x)=5x+8;h:8x−2y+13=0g(x)=5 x+8 ; \quad h: 8 x-2 y+13=0

Studdy Solution

STEP 1

1. Ein Schnittpunkt zweier Geraden existiert, wenn sie sich in einem Punkt schneiden.
2. Die Geraden können in verschiedenen Formen gegeben sein: als Funktionsgleichungen oder in allgemeiner Form.
3. Wir müssen die Gleichungen der Geraden gleichsetzen oder umformen, um den Schnittpunkt zu finden.

STEP 2

1. Bestimmen Sie die Schnittpunkte für die Funktionsgleichungen (Teil a).
2. Bestimmen Sie die Schnittpunkte für die allgemeinen Gleichungen (Teil b und c).
3. Bestimmen Sie den Schnittpunkt für eine Mischung aus Funktionsgleichung und allgemeiner Gleichung (Teil d).

STEP 3

Teil a: Gegeben sind die Funktionsgleichungen g(x)=2x−3 g(x) = 2x - 3 und h(x)=−x+3 h(x) = -x + 3 .
Setzen Sie die beiden Gleichungen gleich, um den x x -Wert des Schnittpunkts zu finden:
2x−3=−x+3 2x - 3 = -x + 3

STEP 4

Lösen Sie die Gleichung nach x x auf:
2x+x=3+3 2x + x = 3 + 3 3x=6 3x = 6 x=2 x = 2
Nun setzen Sie x=2 x = 2 in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um den y y -Wert zu finden:
g(2)=2(2)−3=4−3=1 g(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1
Der Schnittpunkt ist (2,1) (2, 1) .

STEP 5

Teil b: Gegeben sind die allgemeinen Gleichungen 3x−4y=27 3x - 4y = 27 und x−y=8 x - y = 8 .
Verwenden Sie das Substitutions- oder Gleichsetzungsverfahren. Lösen Sie die zweite Gleichung nach x x auf:
x=y+8 x = y + 8
Setzen Sie dies in die erste Gleichung ein:
3(y+8)−4y=27 3(y + 8) - 4y = 27

STEP 6

Lösen Sie die Gleichung nach y y auf:
3y+24−4y=27 3y + 24 - 4y = 27 −y+24=27 -y + 24 = 27 −y=3 -y = 3 y=−3 y = -3
Setzen Sie y=−3 y = -3 in x=y+8 x = y + 8 ein:
x=−3+8=5 x = -3 + 8 = 5
Der Schnittpunkt ist (5,−3) (5, -3) .

STEP 7

Teil c: Gegeben sind die allgemeinen Gleichungen 4x−5y−8=0 4x - 5y - 8 = 0 und 5x+4y+31=0 5x + 4y + 31 = 0 .
Verwenden Sie das Gleichsetzungs- oder Eliminationsverfahren. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 4 und die zweite mit 5, um die y y -Terme zu eliminieren:
16x−20y−32=0 16x - 20y - 32 = 0 25x+20y+155=0 25x + 20y + 155 = 0
Addieren Sie die beiden Gleichungen:
41x+123=0 41x + 123 = 0

STEP 8

Lösen Sie die Gleichung nach x x auf:
41x=−123 41x = -123 x=−12341 x = -\frac{123}{41}
Setzen Sie x=−12341 x = -\frac{123}{41} in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y y zu finden. Zum Beispiel in die erste Gleichung:
4(−12341)−5y−8=0 4\left(-\frac{123}{41}\right) - 5y - 8 = 0
Lösen Sie nach y y auf:
−49241−5y−8=0 -\frac{492}{41} - 5y - 8 = 0 −5y=49241+8 -5y = \frac{492}{41} + 8 y=−(49241+328)5 y = \frac{-\left(\frac{492}{41} + 328\right)}{5}
Berechnen Sie den genauen Wert für y y .

STEP 9

Berechnen Sie den genauen Wert für y y und den Schnittpunkt:
y=berechneter Wert y = \text{berechneter Wert}
Der Schnittpunkt ist (−12341,y) \left(-\frac{123}{41}, y\right) .

STEP 10

Teil d: Gegeben sind die Funktionsgleichung g(x)=5x+8 g(x) = 5x + 8 und die allgemeine Gleichung 8x−2y+13=0 8x - 2y + 13 = 0 .
Setzen Sie g(x) g(x) in die allgemeine Gleichung ein:
8x−2(5x+8)+13=0 8x - 2(5x + 8) + 13 = 0

STEP 11

Lösen Sie die Gleichung nach x x auf:
8x−10x−16+13=0 8x - 10x - 16 + 13 = 0 −2x−3=0 -2x - 3 = 0 −2x=3 -2x = 3 x=−32 x = -\frac{3}{2}
Setzen Sie x=−32 x = -\frac{3}{2} in g(x) g(x) ein, um y y zu finden:
y=5(−32)+8 y = 5\left(-\frac{3}{2}\right) + 8
Berechnen Sie den genauen Wert für y y .

STEP 12

Berechnen Sie den genauen Wert für y y und den Schnittpunkt:
y=berechneter Wert y = \text{berechneter Wert}
Der Schnittpunkt ist (−32,y) \left(-\frac{3}{2}, y\right) .

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