Math / Calculus

QuestionB) If the function $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+b x+c$ has a local minimum at -5 and a local maximum at $x=\frac{-1}{2}$ and inflection point at $x=\frac{1}{4}$ find $a, b, c \in R$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. لدينا الدالة $f(x) = ax^3 - 3x^2 + bx + c$ .
2. يوجد حد أدنى محلي عند $x = -5$ .
3. يوجد حد أقصى محلي عند $x = \frac{-1}{2}$ .
4. نقطة الانعطاف عند $x = \frac{1}{4}$ .

STEP 2

1. إيجاد المشتقة الأولى $f'(x)$ وتحديد النقاط الحرجة.
2. استخدام المعلومات عن النقاط الحرجة لتكوين المعادلات.
3. إيجاد المشتقة الثانية $f''(x)$ وتحديد نقطة الانعطاف.
4. استخدام المعلومات عن نقطة الانعطاف لتكوين معادلة إضافية.
5. حل النظام المكون من المعادلات لإيجاد $a, b, c$ .

STEP 3

إيجاد المشتقة الأولى للدالة $f(x)$ :
$f'(x) = 3ax^2 - 6x + b$

STEP 4

للنقاط الحرجة، يجب أن تكون $f'(x) = 0$ .
للنقطة $x = -5$ :
$f'(-5) = 3a(-5)^2 - 6(-5) + b = 0$

STEP 5

تبسيط المعادلة:
$75a + 30 + b = 0$ $75a + b = -30$

STEP 6

للنقطة $x = \frac{-1}{2}$ :
$f'\left(\frac{-1}{2}\right) = 3a\left(\frac{-1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{-1}{2}\right) + b = 0$

STEP 7

تبسيط المعادلة:
$\frac{3a}{4} + 3 + b = 0$ $\frac{3a}{4} + b = -3$

STEP 8

إيجاد المشتقة الثانية للدالة $f(x)$ :
$f''(x) = 6ax - 6$

STEP 9

لنقطة الانعطاف $x = \frac{1}{4}$ ، يجب أن تكون $f''(x) = 0$ .
$f''\left(\frac{1}{4}\right) = 6a\left(\frac{1}{4}\right) - 6 = 0$

STEP 10

تبسيط المعادلة:
$\frac{3a}{2} - 6 = 0$ $3a = 12$ $a = 4$

STEP 11

استخدام قيمة $a = 4$ في المعادلات السابقة:
من المعادلة $75a + b = -30$ :
$75(4) + b = -30$ $300 + b = -30$ $b = -330$

STEP 12

استخدام قيمة $a = 4$ في المعادلة الثانية:
$\frac{3(4)}{4} + b = -3$ $3 + b = -3$ $b = -6$
لاحظ أن هناك تناقض في القيم المحسوبة لـ $b$ ، مما يشير إلى وجود خطأ في الحسابات السابقة. يجب مراجعة الخطوات السابقة لتصحيح الخطأ.

Was this helpful?

QuestionB) If the function $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+b x+c$ has a local minimum at -5 and a local maximum at $x=\frac{-1}{2}$ and inflection point at $x=\frac{1}{4}$ find $a, b, c \in R$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. لدينا الدالة $f(x) = ax^3 - 3x^2 + bx + c$ .
2. يوجد حد أدنى محلي عند $x = -5$ .
3. يوجد حد أقصى محلي عند $x = \frac{-1}{2}$ .
4. نقطة الانعطاف عند $x = \frac{1}{4}$ .

STEP 2

STEP 3

إيجاد المشتقة الأولى للدالة $f(x)$ :
$f'(x) = 3ax^2 - 6x + b$

STEP 4

للنقاط الحرجة، يجب أن تكون $f'(x) = 0$ .
للنقطة $x = -5$ :
$f'(-5) = 3a(-5)^2 - 6(-5) + b = 0$

STEP 5

تبسيط المعادلة:
$75a + 30 + b = 0$ $75a + b = -30$

STEP 6

للنقطة $x = \frac{-1}{2}$ :
$f'\left(\frac{-1}{2}\right) = 3a\left(\frac{-1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{-1}{2}\right) + b = 0$

STEP 7

تبسيط المعادلة:
$\frac{3a}{4} + 3 + b = 0$ $\frac{3a}{4} + b = -3$

STEP 8

إيجاد المشتقة الثانية للدالة $f(x)$ :
$f''(x) = 6ax - 6$

STEP 9

لنقطة الانعطاف $x = \frac{1}{4}$ ، يجب أن تكون $f''(x) = 0$ .
$f''\left(\frac{1}{4}\right) = 6a\left(\frac{1}{4}\right) - 6 = 0$

STEP 10

تبسيط المعادلة:
$\frac{3a}{2} - 6 = 0$ $3a = 12$ $a = 4$

STEP 11

استخدام قيمة $a = 4$ في المعادلات السابقة:
من المعادلة $75a + b = -30$ :
$75(4) + b = -30$ $300 + b = -30$ $b = -330$

STEP 12

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionB) If the function f(x)=ax3−3x2+bx+cf(x)=a x^{3}-3 x^{2}+b x+cf(x)=ax3−3x2+bx+c has a local minimum at -5 and a local maximum at x=−12x=\frac{-1}{2}x=2−1​ and inflection point at x=14x=\frac{1}{4}x=41​ find a,b,c∈Ra, b, c \in Ra,b,c∈R.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

STEP 3

إيجاد المشتقة الأولى للدالة f(x) f(x) f(x):f′(x)=3ax2−6x+b f'(x) = 3ax^2 - 6x + b f′(x)=3ax2−6x+b

STEP 4

للنقاط الحرجة، يجب أن تكون f′(x)=0 f'(x) = 0 f′(x)=0.للنقطة x=−5 x = -5 x=−5:f′(−5)=3a(−5)2−6(−5)+b=0 f'(-5) = 3a(-5)^2 - 6(-5) + b = 0 f′(−5)=3a(−5)2−6(−5)+b=0

STEP 5

تبسيط المعادلة:75a+30+b=0 75a + 30 + b = 0 75a+30+b=0 75a+b=−30 75a + b = -30 75a+b=−30

STEP 6

للنقطة x=−12 x = \frac{-1}{2} x=2−1​:f′(−12)=3a(−12)2−6(−12)+b=0 f'\left(\frac{-1}{2}\right) = 3a\left(\frac{-1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{-1}{2}\right) + b = 0 f′(2−1​)=3a(2−1​)2−6(2−1​)+b=0

STEP 7

تبسيط المعادلة:3a4+3+b=0 \frac{3a}{4} + 3 + b = 0 43a​+3+b=0 3a4+b=−3 \frac{3a}{4} + b = -3 43a​+b=−3

STEP 8

إيجاد المشتقة الثانية للدالة f(x) f(x) f(x):f′′(x)=6ax−6 f''(x) = 6ax - 6 f′′(x)=6ax−6

STEP 9

لنقطة الانعطاف x=14 x = \frac{1}{4} x=41​، يجب أن تكون f′′(x)=0 f''(x) = 0 f′′(x)=0.f′′(14)=6a(14)−6=0 f''\left(\frac{1}{4}\right) = 6a\left(\frac{1}{4}\right) - 6 = 0 f′′(41​)=6a(41​)−6=0

STEP 10

تبسيط المعادلة:3a2−6=0 \frac{3a}{2} - 6 = 0 23a​−6=0 3a=12 3a = 12 3a=12 a=4 a = 4 a=4

STEP 11

استخدام قيمة a=4 a = 4 a=4 في المعادلات السابقة:من المعادلة 75a+b=−30 75a + b = -30 75a+b=−30:75(4)+b=−30 75(4) + b = -30 75(4)+b=−30 300+b=−30 300 + b = -30 300+b=−30 b=−330 b = -330 b=−330

STEP 12

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionB) If the function $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+b x+c$ has a local minimum at -5 and a local maximum at $x=\frac{-1}{2}$ and inflection point at $x=\frac{1}{4}$ find $a, b, c \in R$ .

إيجاد المشتقة الأولى للدالة $f(x)$ :
$f'(x) = 3ax^2 - 6x + b$

للنقاط الحرجة، يجب أن تكون $f'(x) = 0$ .
للنقطة $x = -5$ :
$f'(-5) = 3a(-5)^2 - 6(-5) + b = 0$

تبسيط المعادلة:
$75a + 30 + b = 0$ $75a + b = -30$

للنقطة $x = \frac{-1}{2}$ :
$f'\left(\frac{-1}{2}\right) = 3a\left(\frac{-1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{-1}{2}\right) + b = 0$

تبسيط المعادلة:
$\frac{3a}{4} + 3 + b = 0$ $\frac{3a}{4} + b = -3$

إيجاد المشتقة الثانية للدالة $f(x)$ :
$f''(x) = 6ax - 6$

لنقطة الانعطاف $x = \frac{1}{4}$ ، يجب أن تكون $f''(x) = 0$ .
$f''\left(\frac{1}{4}\right) = 6a\left(\frac{1}{4}\right) - 6 = 0$

تبسيط المعادلة:
$\frac{3a}{2} - 6 = 0$ $3a = 12$ $a = 4$

استخدام قيمة $a = 4$ في المعادلات السابقة:
من المعادلة $75a + b = -30$ :
$75(4) + b = -30$ $300 + b = -30$ $b = -330$