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Math  /  Calculus

Questionb. lim⁡x→12x−1−15x−5\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-1}-1}{5 x-5}

Studdy Solution

STEP 1

1. Estamos lidando com um limite do tipo 00\frac{0}{0}, o que sugere a necessidade de simplificação.
2. A função a ser simplificada é 2x−1−15x−5\frac{\sqrt{2x-1}-1}{5x-5}.
3. Podemos usar técnicas de álgebra, como a multiplicação pelo conjugado, para simplificar a expressão.

STEP 2

1. Identificar a forma indeterminada.
2. Simplificar a expressão usando o conjugado.
3. Calcular o limite da expressão simplificada.

STEP 3

Identificar a forma indeterminada ao substituir x=1x = 1:
Substituindo x=1:2(1)−1−15(1)−5=1−10=00 \text{Substituindo } x = 1: \quad \frac{\sqrt{2(1)-1}-1}{5(1)-5} = \frac{\sqrt{1}-1}{0} = \frac{0}{0}

STEP 4

Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador 2x−1+1\sqrt{2x-1} + 1:
2x−1−15x−5×2x−1+12x−1+1 \frac{\sqrt{2x-1}-1}{5x-5} \times \frac{\sqrt{2x-1}+1}{\sqrt{2x-1}+1}

STEP 5

Simplificar a expressão resultante:
(2x−1−1)(2x−1+1)(5x−5)(2x−1+1)=(2x−1)−15(x−1)(2x−1+1) \frac{(\sqrt{2x-1}-1)(\sqrt{2x-1}+1)}{(5x-5)(\sqrt{2x-1}+1)} = \frac{(2x-1) - 1}{5(x-1)(\sqrt{2x-1}+1)}
=2x−25(x−1)(2x−1+1) = \frac{2x-2}{5(x-1)(\sqrt{2x-1}+1)}

STEP 6

Fatorar o numerador:
2(x−1)5(x−1)(2x−1+1) \frac{2(x-1)}{5(x-1)(\sqrt{2x-1}+1)}
Cancelar o termo comum x−1x-1:
25(2x−1+1) \frac{2}{5(\sqrt{2x-1}+1)}

STEP 7

Calcular o limite da expressão simplificada quando x→1x \rightarrow 1:
lim⁡x→125(2x−1+1)=25(2(1)−1+1)=25(1+1)=210=15 \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2}{5(\sqrt{2x-1}+1)} = \frac{2}{5(\sqrt{2(1)-1}+1)} = \frac{2}{5(1+1)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
O valor do limite é:
15 \boxed{\frac{1}{5}}

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