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Math  /  Algebra

QuestionB) Si considerino le funzioni: f(x)=x−1f(x)=x-1 e g(x)=x3g(x)=x^{3}
Si determinino f∘g\boldsymbol{f} \circ \boldsymbol{g} e g∘f\boldsymbol{g} \circ f (1 punto) x2x^{2} Si giustifichi perchè sono invertibili e si determini l'espressione analitica delle inverse (1 punto) -Si verifichi che risulta (f∘g)−1=(g∘)−1(1(\boldsymbol{f} \circ g)^{-1}=(\boldsymbol{g} \circ)^{-1}(1 punto ))

Studdy Solution

STEP 1

1. Le funzioni f(x)=x−1 f(x) = x - 1 e g(x)=x3 g(x) = x^3 sono definite per tutti i numeri reali.
2. La composizione di funzioni è definita come (f∘g)(x)=f(g(x)) (f \circ g)(x) = f(g(x)) e (g∘f)(x)=g(f(x)) (g \circ f)(x) = g(f(x)) .
3. Una funzione è invertibile se è biunivoca (iniettiva e suriettiva).
4. L'inversa di una funzione f f è una funzione f−1 f^{-1} tale che f(f−1(x))=x f(f^{-1}(x)) = x e f−1(f(x))=x f^{-1}(f(x)) = x .

STEP 2

1. Calcolare f∘g f \circ g e g∘f g \circ f .
2. Determinare se f f e g g sono invertibili e trovare le loro inverse.
3. Verificare che (f∘g)−1=(g−1∘f−1) (f \circ g)^{-1} = (g^{-1} \circ f^{-1}) .

STEP 3

Calcolare f∘g f \circ g :
(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x3)=x3−1 (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^3) = x^3 - 1

STEP 4

Calcolare g∘f g \circ f :
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x−1)=(x−1)3 (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x-1) = (x-1)^3

STEP 5

Determinare se f(x)=x−1 f(x) = x - 1 è invertibile:
La funzione f(x)=x−1 f(x) = x - 1 è una retta con pendenza 1, quindi è iniettiva e suriettiva. Pertanto, è invertibile.
L'inversa di f(x)=x−1 f(x) = x - 1 è f−1(x)=x+1 f^{-1}(x) = x + 1 .

STEP 6

Determinare se g(x)=x3 g(x) = x^3 è invertibile:
La funzione g(x)=x3 g(x) = x^3 è una funzione cubica che è iniettiva e suriettiva su R\mathbb{R}. Pertanto, è invertibile.
L'inversa di g(x)=x3 g(x) = x^3 è g−1(x)=x3 g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} .

STEP 7

Verificare che (f∘g)−1=(g−1∘f−1) (f \circ g)^{-1} = (g^{-1} \circ f^{-1}) :
Calcolare (f∘g)−1 (f \circ g)^{-1} :
Se (f∘g)(x)=x3−1 (f \circ g)(x) = x^3 - 1 , allora la sua inversa è:
(f∘g)−1(x)=x+13 (f \circ g)^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 1}
Calcolare (g−1∘f−1)(x) (g^{-1} \circ f^{-1})(x) :
g−1(f−1(x))=g−1(x+1)=x+13 g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}(x + 1) = \sqrt[3]{x + 1}
Poiché (f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x) (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) , la verifica è corretta.
La soluzione è stata verificata correttamente.

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