Math / Algebra

Question```latex \textbf{Basisaufgaben}
1. Die Abbildung zeigt die Graphen verschiedener Exponentialfunktionen. Gib jeweils die passende Funktionsgleichung an.
2. Der Graph einer Exponentialfunktion $f$ verläuft durch den Punkt $P$ . Gib die Funktionsgleichung von $f$ an. Zeichne dann den Graphen von $f$ . \begin{itemize} \item[a)] $P(2 \mid 6,25)$ \item[b)] $P(4 \mid 1,4641)$ \item[c)] $P(4 \mid 0,0625)$ \item[d)] $P(-3 \mid 1000)$ \end{itemize}

Studdy Solution

STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir sollen die Gleichungen von Exponentialfunktionen finden, die zu gegebenen Graphen oder Punkten passen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Basis und den Exponenten.
Achte auf die Vorzeichen!

STEP 2

1. Allgemeine Form der Exponentialfunktion
2. Funktionsgleichungen zu den Graphen finden
3. Funktionsgleichungen zu den Punkten finden

STEP 3

Erinnern wir uns an die allgemeine Form einer Exponentialfunktion: $f(x) = a \cdot b^x$ .
Hier ist $a$ der Anfangswert (also der Wert für $x=0$ ) und $b$ die Basis.

STEP 4

Um die Gleichungen für die Graphen A, B, C, D und E zu finden, schauen wir uns spezielle Punkte auf den Graphen an, durch die sie verlaufen.
Zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse (das ist der Anfangswert $a$ ) und einen weiteren Punkt, um die Basis $b$ zu bestimmen.

STEP 5

Beispiel: Nehmen wir an, ein Graph geht durch die Punkte $(0|2)$ und $(1|4)$ .
Der Anfangswert $a$ ist $2$ , da der Graph durch $(0|2)$ geht.
Also haben wir $f(x) = 2 \cdot b^x$ .
Setzen wir den zweiten Punkt $(1|4)$ ein: $4 = 2 \cdot b^1$ .
Das heißt $b=2$ .
Die Funktionsgleichung ist also $f(x) = 2 \cdot 2^x$ .
So machen wir das für alle Graphen.
### 2.3 Funktionsgleichungen zu den Punkten finden

STEP 6

Für die anderen Punkte gehen wir genauso vor.
Wir setzen die Koordinaten in die allgemeine Gleichung ein und lösen nach $a$ und $b$ auf.
Wenn nur ein Punkt gegeben ist, nehmen wir an, dass $a=1$ ist.

STEP 7

Beispiel für Punkt d) $P(-3|1000)$ .
Einsetzen: $1000 = a \cdot b^{-3}$ .
Mit $a=1$ erhalten wir $1000 = b^{-3}$ .
Um $b$ zu finden, nehmen wir die reziproke Potenz auf beiden Seiten: $\frac{1}{1000} = b^3$ .
Also ist $b = \sqrt[3]{\frac{1}{1000}} = \frac{1}{10} = 0,1$ .
Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = 0,1^x$ .

STEP 8

Die Lösung besteht aus den gefundenen Funktionsgleichungen für die Graphen A, B, C, D und E sowie den Funktionsgleichungen und Graphen für die Punkte a) bis d).
Die genauen Gleichungen hängen von den Graphen im Bild ab, die hier nicht dargestellt sind.
Für die Punkte a) bis d) haben wir beispielhaft Gleichungen unter der Annahme $a=1$ berechnet.

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STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir sollen die Gleichungen von Exponentialfunktionen finden, die zu gegebenen Graphen oder Punkten passen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Basis und den Exponenten.
Achte auf die Vorzeichen!

STEP 2

1. Allgemeine Form der Exponentialfunktion
2. Funktionsgleichungen zu den Graphen finden
3. Funktionsgleichungen zu den Punkten finden

STEP 3

Erinnern wir uns an die allgemeine Form einer Exponentialfunktion: $f(x) = a \cdot b^x$ .
Hier ist $a$ der Anfangswert (also der Wert für $x=0$ ) und $b$ die Basis.

STEP 4

Um die Gleichungen für die Graphen A, B, C, D und E zu finden, schauen wir uns spezielle Punkte auf den Graphen an, durch die sie verlaufen.
Zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse (das ist der Anfangswert $a$ ) und einen weiteren Punkt, um die Basis $b$ zu bestimmen.

STEP 5

STEP 6

Für die anderen Punkte gehen wir genauso vor.
Wir setzen die Koordinaten in die allgemeine Gleichung ein und lösen nach $a$ und $b$ auf.
Wenn nur ein Punkt gegeben ist, nehmen wir an, dass $a=1$ ist.

STEP 7

STEP 8

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STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir sollen die Gleichungen von Exponentialfunktionen finden, die zu gegebenen Graphen oder Punkten passen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Basis und den Exponenten.Achte auf die Vorzeichen!

STEP 2

1. Allgemeine Form der Exponentialfunktion2. Funktionsgleichungen zu den Graphen finden3. Funktionsgleichungen zu den Punkten finden

STEP 3

Erinnern wir uns an die allgemeine Form einer Exponentialfunktion: f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^xf(x)=a⋅bx.Hier ist aaa der **Anfangswert** (also der Wert für x=0x=0x=0) und bbb die **Basis**.

STEP 4

Um die Gleichungen für die Graphen A, B, C, D und E zu finden, schauen wir uns **spezielle Punkte** auf den Graphen an, durch die sie verlaufen.Zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse (das ist der **Anfangswert** aaa) und einen weiteren Punkt, um die **Basis** bbb zu bestimmen.

STEP 5

STEP 6

Für die anderen Punkte gehen wir genauso vor.Wir setzen die Koordinaten in die allgemeine Gleichung ein und lösen nach aaa und bbb auf.Wenn nur ein Punkt gegeben ist, nehmen wir an, dass a=1a=1a=1 ist.

STEP 7

STEP 8

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Was ist hier gefragt? Wir sollen die Gleichungen von Exponentialfunktionen finden, die zu gegebenen Graphen oder Punkten passen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Basis und den Exponenten.
Achte auf die Vorzeichen!

1. Allgemeine Form der Exponentialfunktion
2. Funktionsgleichungen zu den Graphen finden
3. Funktionsgleichungen zu den Punkten finden

Erinnern wir uns an die allgemeine Form einer Exponentialfunktion: $f(x) = a \cdot b^x$ .
Hier ist $a$ der Anfangswert (also der Wert für $x=0$ ) und $b$ die Basis.

Um die Gleichungen für die Graphen A, B, C, D und E zu finden, schauen wir uns spezielle Punkte auf den Graphen an, durch die sie verlaufen.
Zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse (das ist der Anfangswert $a$ ) und einen weiteren Punkt, um die Basis $b$ zu bestimmen.

Für die anderen Punkte gehen wir genauso vor.
Wir setzen die Koordinaten in die allgemeine Gleichung ein und lösen nach $a$ und $b$ auf.
Wenn nur ein Punkt gegeben ist, nehmen wir an, dass $a=1$ ist.