Math / Algebra

Question2 Bei der Herstellung eines Gutes geht man von der Isoquantenfunktion $I_{P_{300}}$ mit $y(x)=\frac{3}{x-b}+c$ aus. Dabei lassen sich die Produktionsfaktoren Arbeit $x$ und Kapital $y$ nur so weit substituieren, dass der Produktionsfaktor $x$ mit mehr als 2 ME und der Produktionsfaktor Kapital $y$ mit mehr als 1 ME eingesetzt werden. a) Bestimmen Sie die Gleichung der $I_{P_{300}}$ -Isoquante mit der Form $y(x)=\frac{3}{x-b}+c$ , die einen Output von 300 ME repräsentiert. Ermitteln Sie, wie viele ME Arbeit eingesetzt werden müssen, wenn der Betrieb mit nur 2 ME Kapital produzieren will.

Studdy Solution

STEP 1

Was wird gefragt? Wir sollen die Gleichung einer Isoquante finden, die eine bestimmte Produktionsmenge darstellt, und herausfinden, wie viel Arbeit benötigt wird, wenn nur eine bestimmte Menge an Kapital verwendet wird. Vorsicht! Nicht vergessen, dass $x$ und $y$ jeweils Mindestmengen haben!

STEP 2

1. Mindestmengen einsetzen
2. Gleichung aufstellen
3. Arbeit berechnen

STEP 3

Wir wissen, dass $y$ mindestens 1 ME sein muss.
Das ist unser c-Wert!
Denn wenn $x$ sehr groß wird, nähert sich $\frac{3}{x-b}$ Null an, und $y$ wird zu $c$ .
Also muss $c = 1$ sein.
Super!

STEP 4

Wir wissen auch, dass $x$ mindestens 2 ME sein muss.
Das bedeutet, dass der Nenner unserer Gleichung $x - b$ nicht Null werden darf, wenn $x = 2$ .
Daher muss $b$ kleiner als 2 sein.

STEP 5

Mit $c = 1$ haben wir jetzt: $y(x) = \frac{3}{x-b} + 1$ .
Wir müssen noch $b$ finden!

STEP 6

Wir wissen, dass $x > 2$ und $y > 1$ .
Nehmen wir doch einfach mal einen Punkt, der diese Bedingungen erfüllt, zum Beispiel $x = 3$ und $y = 4$ .
Das klingt doch gut!

STEP 7

Setzen wir diese Werte in unsere Gleichung ein: $4 = \frac{3}{3-b} + 1$ .
Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten: $3 = \frac{3}{3-b}$ .
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit $(3-b)$ : $3 \cdot (3-b) = 3$ .
Das vereinfacht sich zu $3-b = 1$ , also ist $b = 2$ !
Moment mal... $b$ darf nicht 2 sein!
Wir müssen einen anderen Punkt wählen.

STEP 8

Versuchen wir es mit $x = 5$ und $y = 2$ : $2 = \frac{3}{5-b} + 1$ .
Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten: $1 = \frac{3}{5-b}$ .
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit $(5-b)$ : $5-b = 3$ .
Also ist $b = 2$ !
Das ist immer noch nicht gut!

STEP 9

Die Aufgabenstellung sagt, dass die Produktionsfaktoren nur so weit substituiert werden können, dass $x > 2$ und $y > 1$ ist.
Das bedeutet, dass $b < 2$ sein muss, aber nicht gleich 2.
Die Punkte, die wir gewählt haben, liegen nicht auf der Isoquante!
Wir haben die Information über die Mindestmengen schon in 2.1. verwendet. Die zusätzliche Information, dass die Produktionsfaktoren nur so weit substituiert werden können, bedeutet, dass $y$ sich $1$ annähert, wenn $x$ groß wird, und $x$ sich $2$ annähert, wenn $y$ groß wird.
Das heißt, die Isoquante nähert sich $x=2$ und $y=1$ an.
Da $y(x) = \frac{3}{x-b} + c$ ist, muss $b=2$ und $c=1$ sein.

STEP 10

Unsere Gleichung ist also $y(x) = \frac{3}{x-2} + 1$ .
Yippie!

STEP 11

Wir wollen wissen, wie viel Arbeit ( $x$ ) benötigt wird, wenn $y = 2$ ist.
Also setzen wir $y = 2$ in unsere Gleichung ein: $2 = \frac{3}{x-2} + 1$ .

STEP 12

Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten: $1 = \frac{3}{x-2}$ .
Multiplizieren wir beide Seiten mit $(x-2)$ : $x-2 = 3$ .
Addieren wir 2 zu beiden Seiten: $x = 5$ .

STEP 13

Die Gleichung der Isoquante lautet $y(x) = \frac{3}{x-2} + 1$ .
Wenn der Betrieb mit 2 ME Kapital produzieren will, müssen 5 ME Arbeit eingesetzt werden.

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

Was wird gefragt? Wir sollen die Gleichung einer Isoquante finden, die eine bestimmte Produktionsmenge darstellt, und herausfinden, wie viel Arbeit benötigt wird, wenn nur eine bestimmte Menge an Kapital verwendet wird. Vorsicht! Nicht vergessen, dass $x$ und $y$ jeweils Mindestmengen haben!

STEP 2

1. Mindestmengen einsetzen
2. Gleichung aufstellen
3. Arbeit berechnen

STEP 3

Wir wissen, dass $y$ mindestens 1 ME sein muss.
Das ist unser c-Wert!
Denn wenn $x$ sehr groß wird, nähert sich $\frac{3}{x-b}$ Null an, und $y$ wird zu $c$ .
Also muss $c = 1$ sein.
Super!

STEP 4

Wir wissen auch, dass $x$ mindestens 2 ME sein muss.
Das bedeutet, dass der Nenner unserer Gleichung $x - b$ nicht Null werden darf, wenn $x = 2$ .
Daher muss $b$ kleiner als 2 sein.

STEP 5

Mit $c = 1$ haben wir jetzt: $y(x) = \frac{3}{x-b} + 1$ .
Wir müssen noch $b$ finden!

STEP 6

Wir wissen, dass $x > 2$ und $y > 1$ .
Nehmen wir doch einfach mal einen Punkt, der diese Bedingungen erfüllt, zum Beispiel $x = 3$ und $y = 4$ .
Das klingt doch gut!

STEP 7

STEP 8

Versuchen wir es mit $x = 5$ und $y = 2$ : $2 = \frac{3}{5-b} + 1$ .
Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten: $1 = \frac{3}{5-b}$ .
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit $(5-b)$ : $5-b = 3$ .
Also ist $b = 2$ !
Das ist immer noch nicht gut!

STEP 9

STEP 10

Unsere Gleichung ist also $y(x) = \frac{3}{x-2} + 1$ .
Yippie!

STEP 11

Wir wollen wissen, wie viel Arbeit ( $x$ ) benötigt wird, wenn $y = 2$ ist.
Also setzen wir $y = 2$ in unsere Gleichung ein: $2 = \frac{3}{x-2} + 1$ .

STEP 12

Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten: $1 = \frac{3}{x-2}$ .
Multiplizieren wir beide Seiten mit $(x-2)$ : $x-2 = 3$ .
Addieren wir 2 zu beiden Seiten: $x = 5$ .

STEP 13

Die Gleichung der Isoquante lautet $y(x) = \frac{3}{x-2} + 1$ .
Wenn der Betrieb mit 2 ME Kapital produzieren will, müssen 5 ME Arbeit eingesetzt werden.

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STEP 1

Was wird gefragt? Wir sollen die Gleichung einer Isoquante finden, die eine bestimmte Produktionsmenge darstellt, und herausfinden, wie viel Arbeit benötigt wird, wenn nur eine bestimmte Menge an Kapital verwendet wird. Vorsicht! Nicht vergessen, dass xxx und yyy jeweils Mindestmengen haben!

STEP 2

1. Mindestmengen einsetzen2. Gleichung aufstellen3. Arbeit berechnen

STEP 3

Wir wissen, dass yyy mindestens **1 ME** sein muss.Das ist unser **c**-Wert!Denn wenn xxx sehr groß wird, nähert sich 3x−b\frac{3}{x-b}x−b3​ Null an, und yyy wird zu ccc.Also muss c=1c = 1c=1 sein.Super!

STEP 4

Wir wissen auch, dass xxx mindestens **2 ME** sein muss.Das bedeutet, dass der Nenner unserer Gleichung x−bx - bx−b nicht Null werden darf, wenn x=2x = 2x=2.Daher muss bbb kleiner als **2** sein.

STEP 5

Mit c=1c = 1c=1 haben wir jetzt: y(x)=3x−b+1y(x) = \frac{3}{x-b} + 1y(x)=x−b3​+1.Wir müssen noch bbb finden!

STEP 6

Wir wissen, dass x>2x > 2x>2 und y>1y > 1y>1.Nehmen wir doch einfach mal einen Punkt, der diese Bedingungen erfüllt, zum Beispiel x=3x = 3x=3 und y=4y = 4y=4.Das klingt doch gut!

STEP 7

STEP 8

STEP 9

STEP 10

Unsere Gleichung ist also y(x)=3x−2+1y(x) = \frac{3}{x-2} + 1y(x)=x−23​+1.Yippie!

STEP 11

Wir wollen wissen, wie viel Arbeit (xxx) benötigt wird, wenn y=2y = 2y=2 ist.Also setzen wir y=2y = 2y=2 in unsere Gleichung ein: 2=3x−2+12 = \frac{3}{x-2} + 12=x−23​+1.

STEP 12

Subtrahieren wir **1** von beiden Seiten: 1=3x−21 = \frac{3}{x-2}1=x−23​.Multiplizieren wir beide Seiten mit (x−2)(x-2)(x−2): x−2=3x-2 = 3x−2=3.Addieren wir **2** zu beiden Seiten: x=5x = 5x=5.

STEP 13

Die Gleichung der Isoquante lautet y(x)=3x−2+1y(x) = \frac{3}{x-2} + 1y(x)=x−23​+1.Wenn der Betrieb mit 2 ME Kapital produzieren will, müssen 5 ME Arbeit eingesetzt werden.

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Was wird gefragt? Wir sollen die Gleichung einer Isoquante finden, die eine bestimmte Produktionsmenge darstellt, und herausfinden, wie viel Arbeit benötigt wird, wenn nur eine bestimmte Menge an Kapital verwendet wird. Vorsicht! Nicht vergessen, dass $x$ und $y$ jeweils Mindestmengen haben!

1. Mindestmengen einsetzen
2. Gleichung aufstellen
3. Arbeit berechnen

Wir wissen, dass $y$ mindestens 1 ME sein muss.
Das ist unser c-Wert!
Denn wenn $x$ sehr groß wird, nähert sich $\frac{3}{x-b}$ Null an, und $y$ wird zu $c$ .
Also muss $c = 1$ sein.
Super!

Wir wissen auch, dass $x$ mindestens 2 ME sein muss.
Das bedeutet, dass der Nenner unserer Gleichung $x - b$ nicht Null werden darf, wenn $x = 2$ .
Daher muss $b$ kleiner als 2 sein.

Mit $c = 1$ haben wir jetzt: $y(x) = \frac{3}{x-b} + 1$ .
Wir müssen noch $b$ finden!

Wir wissen, dass $x > 2$ und $y > 1$ .
Nehmen wir doch einfach mal einen Punkt, der diese Bedingungen erfüllt, zum Beispiel $x = 3$ und $y = 4$ .
Das klingt doch gut!

Unsere Gleichung ist also $y(x) = \frac{3}{x-2} + 1$ .
Yippie!

Wir wollen wissen, wie viel Arbeit ( $x$ ) benötigt wird, wenn $y = 2$ ist.
Also setzen wir $y = 2$ in unsere Gleichung ein: $2 = \frac{3}{x-2} + 1$ .

Subtrahieren wir 1 von beiden Seiten: $1 = \frac{3}{x-2}$ .
Multiplizieren wir beide Seiten mit $(x-2)$ : $x-2 = 3$ .
Addieren wir 2 zu beiden Seiten: $x = 5$ .

Die Gleichung der Isoquante lautet $y(x) = \frac{3}{x-2} + 1$ .
Wenn der Betrieb mit 2 ME Kapital produzieren will, müssen 5 ME Arbeit eingesetzt werden.