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Question Finde die Scheitelpunkte der Parabeln y=x2−2x−3y=x^{2}-2x-3 und y=−x2−x+6y=-x^{2}-x+6. Bestimme, ob der Scheitel der höchste oder tiefste Punkt ist.

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen
1. Die gegebene Funktion für a) ist y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3.
2. Die gegebene Funktion für b) ist y=−x2−x+6y = -x^2 - x + 6.
3. Die Scheitelkoordinaten einer Parabel in der Form y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c können mit der Formel x=−b2ax = -\frac{b}{2a} berechnet werden.
4. Der y-Wert des Scheitelpunkts kann gefunden werden, indem der x-Wert des Scheitelpunkts in die Parabelgleichung eingesetzt wird.
5. Wenn der Koeffizient aa positiv ist, ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel (Minimum). Wenn aa negativ ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel (Maximum).

STEP 2

Berechnung der x-Koordinate des Scheitelpunkts für die Parabel a).
x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

STEP 3

Einsetzen der Werte für aa und bb in die Formel für Parabel a).
a=1,b=−2a = 1, \quad b = -2 x=−−22⋅1x = -\frac{-2}{2 \cdot 1}

STEP 4

Berechnung der x-Koordinate des Scheitelpunkts für Parabel a).
x=−−22=1x = -\frac{-2}{2} = 1

STEP 5

Einsetzen der x-Koordinate des Scheitelpunkts in die Gleichung der Parabel a), um die y-Koordinate zu berechnen.
y=(1)2−2⋅1−3y = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 3

STEP 6

Berechnung der y-Koordinate des Scheitelpunkts für Parabel a).
y=1−2−3=−4y = 1 - 2 - 3 = -4

STEP 7

Die Scheitelkoordinaten der Parabel a) sind (1,−4)(1, -4). Da aa positiv ist, ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel (Minimum).

STEP 8

Berechnung der x-Koordinate des Scheitelpunkts für die Parabel b).
x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

STEP 9

Einsetzen der Werte für aa und bb in die Formel für Parabel b).
a=−1,b=−1a = -1, \quad b = -1 x=−−12⋅(−1)x = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)}

STEP 10

Berechnung der x-Koordinate des Scheitelpunkts für Parabel b).
x=−−1−2=12x = -\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}

STEP 11

Einsetzen der x-Koordinate des Scheitelpunkts in die Gleichung der Parabel b), um die y-Koordinate zu berechnen.
y=−(12)2−12+6y = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 6

STEP 12

Berechnung der y-Koordinate des Scheitelpunkts für Parabel b).
y=−14−12+6=−14−24+244y = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 6 = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{24}{4} y=214y = \frac{21}{4}

STEP 13

Die Scheitelkoordinaten der Parabel b) sind (12,214)\left(\frac{1}{2}, \frac{21}{4}\right). Da aa negativ ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel (Maximum).
Die Scheitelkoordinaten der Parabel a) sind (1,−4)(1, -4) und es ist der tiefste Punkt der Parabel (Minimum). Die Scheitelkoordinaten der Parabel b) sind (12,214)\left(\frac{1}{2}, \frac{21}{4}\right) und es ist der höchste Punkt der Parabel (Maximum).

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