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STEP 1

1. Nous avons deux fonctions : $f(x) = \frac{1}{x}$ et $g(x) = 1$.
2. Nous cherchons l'aire de la région fermée entre ces deux courbes sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$.

STEP 2

1. Déterminer les points d'intersection des courbes $f(x)$ et $g(x)$.
2. Calculer l'intégrale de la différence des fonctions sur l'intervalle donné.
3. Évaluer l'intégrale pour obtenir l'aire.

STEP 3

Trouver les points d'intersection en résolvant $f(x) = g(x)$:
$$\frac{1}{x} = 1$$ Résoudre pour $x$:
$$x = 1$$ Les courbes se croisent à $x = 1$.

STEP 4

Calculer l'intégrale de la différence $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$:
$$\int_{\frac{1}{2}}^2 \left(1 - \frac{1}{x}\right) \, dx$$

STEP 5

Décomposer l'intégrale:
$$\int_{\frac{1}{2}}^2 1 \, dx - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \, dx$$

STEP 6

Calculer chaque intégrale séparément:
1. $\int_{\frac{1}{2}}^2 1 \, dx = \left[ x \right]_{\frac{1}{2}}^2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
2. $\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{\frac{1}{2}}^2 = \ln(2) - \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Simplifier $\ln(2) - \ln\left(\frac{1}{2}\right)$:
$$\ln(2) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{2}{\frac{1}{2}}\right) = \ln(4)$$

Calculer la différence des intégrales:
$$\frac{3}{2} - \ln(4)$$ L'aire de la région fermée est:
$$\boxed{\frac{3}{2} - \ln(4)}$$