Math / Calculus

QuestionCalculer l'aire de la région fermée délimitée par les courbes suivantes. $f(x)=\frac{1}{x} \text { et } g(x)=1 \text { sur }\left[\frac{1}{2}, 2\right] \text {. }$

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous avons deux fonctions : $f(x) = \frac{1}{x}$ et $g(x) = 1$ .
2. Nous cherchons l'aire de la région fermée entre ces deux courbes sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ .

STEP 2

1. Déterminer les points d'intersection des courbes $f(x)$ et $g(x)$ .
2. Calculer l'intégrale de la différence des fonctions sur l'intervalle donné.
3. Évaluer l'intégrale pour obtenir l'aire.

STEP 3

Trouver les points d'intersection en résolvant $f(x) = g(x)$ :
$\frac{1}{x} = 1$
Résoudre pour $x$ :
$x = 1$
Les courbes se croisent à $x = 1$ .

STEP 4

Calculer l'intégrale de la différence $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ :
$\int_{\frac{1}{2}}^2 \left(1 - \frac{1}{x}\right) \, dx$

STEP 5

Décomposer l'intégrale:
$\int_{\frac{1}{2}}^2 1 \, dx - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \, dx$

STEP 6

Calculer chaque intégrale séparément:
1. $\int_{\frac{1}{2}}^2 1 \, dx = \left[ x \right]_{\frac{1}{2}}^2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
2. $\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{\frac{1}{2}}^2 = \ln(2) - \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Simplifier $\ln(2) - \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ :
$\ln(2) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{2}{\frac{1}{2}}\right) = \ln(4)$

STEP 7

Calculer la différence des intégrales:
$\frac{3}{2} - \ln(4)$
L'aire de la région fermée est:
$\boxed{\frac{3}{2} - \ln(4)}$

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QuestionCalculer l'aire de la région fermée délimitée par les courbes suivantes. $f(x)=\frac{1}{x} \text { et } g(x)=1 \text { sur }\left[\frac{1}{2}, 2\right] \text {. }$

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous avons deux fonctions : $f(x) = \frac{1}{x}$ et $g(x) = 1$ .
2. Nous cherchons l'aire de la région fermée entre ces deux courbes sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ .

STEP 2

1. Déterminer les points d'intersection des courbes $f(x)$ et $g(x)$ .
2. Calculer l'intégrale de la différence des fonctions sur l'intervalle donné.
3. Évaluer l'intégrale pour obtenir l'aire.

STEP 3

Trouver les points d'intersection en résolvant $f(x) = g(x)$ :
$\frac{1}{x} = 1$
Résoudre pour $x$ :
$x = 1$
Les courbes se croisent à $x = 1$ .

STEP 4

Calculer l'intégrale de la différence $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ :
$\int_{\frac{1}{2}}^2 \left(1 - \frac{1}{x}\right) \, dx$

STEP 5

Décomposer l'intégrale:
$\int_{\frac{1}{2}}^2 1 \, dx - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \, dx$

STEP 6

STEP 7

Calculer la différence des intégrales:
$\frac{3}{2} - \ln(4)$
L'aire de la région fermée est:
$\boxed{\frac{3}{2} - \ln(4)}$

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QuestionCalculer l'aire de la région fermée délimitée par les courbes suivantes. f(x)=1x et g(x)=1 sur [12,2]. f(x)=\frac{1}{x} \text { et } g(x)=1 \text { sur }\left[\frac{1}{2}, 2\right] \text {. }f(x)=x1​ et g(x)=1 sur [21​,2].

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STEP 1

1. Nous avons deux fonctions : f(x)=1x f(x) = \frac{1}{x} f(x)=x1​ et g(x)=1 g(x) = 1 g(x)=1.2. Nous cherchons l'aire de la région fermée entre ces deux courbes sur l'intervalle [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right][21​,2].

STEP 2

1. Déterminer les points d'intersection des courbes f(x) f(x) f(x) et g(x) g(x) g(x).2. Calculer l'intégrale de la différence des fonctions sur l'intervalle donné.3. Évaluer l'intégrale pour obtenir l'aire.

STEP 3

Trouver les points d'intersection en résolvant f(x)=g(x) f(x) = g(x) f(x)=g(x):1x=1 \frac{1}{x} = 1 x1​=1Résoudre pour x x x:x=1 x = 1 x=1Les courbes se croisent à x=1 x = 1 x=1.

STEP 4

Calculer l'intégrale de la différence g(x)−f(x) g(x) - f(x) g(x)−f(x) sur l'intervalle [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right][21​,2]:∫122(1−1x) dx \int_{\frac{1}{2}}^2 \left(1 - \frac{1}{x}\right) \, dx ∫21​2​(1−x1​)dx

STEP 5

Décomposer l'intégrale:∫1221 dx−∫1221x dx \int_{\frac{1}{2}}^2 1 \, dx - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \, dx ∫21​2​1dx−∫21​2​x1​dx

STEP 6

STEP 7

Calculer la différence des intégrales:32−ln⁡(4) \frac{3}{2} - \ln(4) 23​−ln(4) L'aire de la région fermée est:32−ln⁡(4) \boxed{\frac{3}{2} - \ln(4)} 23​−ln(4)​

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QuestionCalculer l'aire de la région fermée délimitée par les courbes suivantes. $f(x)=\frac{1}{x} \text { et } g(x)=1 \text { sur }\left[\frac{1}{2}, 2\right] \text {. }$

1. Nous avons deux fonctions : $f(x) = \frac{1}{x}$ et $g(x) = 1$ .
2. Nous cherchons l'aire de la région fermée entre ces deux courbes sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ .

1. Déterminer les points d'intersection des courbes $f(x)$ et $g(x)$ .
2. Calculer l'intégrale de la différence des fonctions sur l'intervalle donné.
3. Évaluer l'intégrale pour obtenir l'aire.

Trouver les points d'intersection en résolvant $f(x) = g(x)$ :
$\frac{1}{x} = 1$
Résoudre pour $x$ :
$x = 1$
Les courbes se croisent à $x = 1$ .

Calculer l'intégrale de la différence $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ :
$\int_{\frac{1}{2}}^2 \left(1 - \frac{1}{x}\right) \, dx$

Décomposer l'intégrale:
$\int_{\frac{1}{2}}^2 1 \, dx - \int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \, dx$

Calculer la différence des intégrales:
$\frac{3}{2} - \ln(4)$
L'aire de la région fermée est:
$\boxed{\frac{3}{2} - \ln(4)}$