Math / Calculus

Question $\begin{array}{l}\text { caushy } \\ y^{\prime \prime}-\frac{3}{x} y^{\prime}+\frac{4}{x^{2}} y=0 \quad{ }^{\prime} \quad x^{\prime}>0\end{array}$

Studdy Solution

STEP 1

1. المعادلة المعطاة هي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية.
2. المعادلة لها شكل معادلة كوشي-أويلر.
3. نحتاج إلى إيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

STEP 2

1. تحويل المعادلة إلى معادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة.
2. إيجاد الجذور المميزة للمعادلة.
3. كتابة الحل العام للمعادلة.

STEP 3

نبدأ بتحويل المعادلة التفاضلية إلى معادلة ذات معاملات ثابتة باستخدام التحويل $y = x^m$ . نحسب المشتقات:
$y' = mx^{m-1}$ $y'' = m(m-1)x^{m-2}$
نستبدل هذه المشتقات في المعادلة الأصلية:
$m(m-1)x^{m-2} - \frac{3}{x}(mx^{m-1}) + \frac{4}{x^2}(x^m) = 0$
نبسط المعادلة:
$m(m-1)x^{m-2} - 3mx^{m-2} + 4x^{m-2} = 0$

STEP 4

نستخرج العامل المشترك $x^{m-2}$ من المعادلة المبسطة:
$x^{m-2}(m(m-1) - 3m + 4) = 0$
نحل المعادلة المميزة:
$m(m-1) - 3m + 4 = 0$ $m^2 - m - 3m + 4 = 0$ $m^2 - 4m + 4 = 0$

STEP 5

نوجد الجذور المميزة للمعادلة:
$m^2 - 4m + 4 = 0$
نستخدم صيغة الجذور للمعادلة التربيعية:
$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
حيث $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 4$ :
$m = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$ $m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$ $m = \frac{4 \pm 0}{2}$ $m = 2$
الجذر المزدوج هو $m = 2$ .

STEP 6

بما أن لدينا جذر مزدوج، فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية هو:
$y(x) = C_1 x^m + C_2 x^m \ln(x)$
وبما أن $m = 2$ :
$y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x)$
الحل العام للمعادلة هو:
$y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x)$

Was this helpful?

Get Studdy

Scan QR code with your device to get Studdy on iOS or Android

QR code

Studdy solves anything!

Download the app

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Parents Influencer program Contact Policy Terms