Math Snap

STEP 1

1. المعادلة المعطاة هي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية.
2. المعادلة لها شكل معادلة كوشي-أويلر.
3. نحتاج إلى إيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية.

STEP 2

1. تحويل المعادلة إلى معادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة.
2. إيجاد الجذور المميزة للمعادلة.
3. كتابة الحل العام للمعادلة.

STEP 3

نبدأ بتحويل المعادلة التفاضلية إلى معادلة ذات معاملات ثابتة باستخدام التحويل $y = x^m$. نحسب المشتقات:
$$y' = mx^{m-1}$$ $$y'' = m(m-1)x^{m-2}$$ نستبدل هذه المشتقات في المعادلة الأصلية:
$$m(m-1)x^{m-2} - \frac{3}{x}(mx^{m-1}) + \frac{4}{x^2}(x^m) = 0$$ نبسط المعادلة:
$$m(m-1)x^{m-2} - 3mx^{m-2} + 4x^{m-2} = 0$$

STEP 4

نستخرج العامل المشترك $x^{m-2}$ من المعادلة المبسطة:
$$x^{m-2}(m(m-1) - 3m + 4) = 0$$ نحل المعادلة المميزة:
$$m(m-1) - 3m + 4 = 0$$ $$m^2 - m - 3m + 4 = 0$$ $$m^2 - 4m + 4 = 0$$

STEP 5

نوجد الجذور المميزة للمعادلة:
$$m^2 - 4m + 4 = 0$$ نستخدم صيغة الجذور للمعادلة التربيعية:
$$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ حيث $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$:
$$m = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$$ $$m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$$ $$m = \frac{4 \pm 0}{2}$$ $$m = 2$$ الجذر المزدوج هو $m = 2$.

بما أن لدينا جذر مزدوج، فإن الحل العام للمعادلة التفاضلية هو:
$$y(x) = C_1 x^m + C_2 x^m \ln(x)$$ وبما أن $m = 2$:
$$y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x)$$ الحل العام للمعادلة هو:
$$y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^2 \ln(x)$$