Math  /  Calculus

QuestionChoose the correct answer : (5 points) 1) A particular solution for the differential equation y(4)+y(3)=2+4exy^{(4)}+y^{(3)}=2+4 e^{x} is (a) A+Bex\mathrm{A}+\mathrm{B} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} (b) A+Bx+Cx2+Dex\mathrm{A}+\mathrm{Bx}+\mathrm{Cx}^{2}+\mathrm{D} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} (c) Ax2+Bx2ex\mathrm{Ax}^{2}+\mathrm{Bx}^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} (d) Ax2+Bex\mathrm{Ax}^{2}+\mathrm{Be}^{\mathrm{x}} e)NOTA 2) The solution for the I.V.P sin(t)y+1t3y+ety=t3y(1)=0y(1)=1y(1)=1\sin (t) y^{\prime \prime \prime}+\frac{1}{t-3} y^{\prime \prime}+e^{t} y=t^{3} \quad y(1)=0 \quad y^{\prime}(1)=1 \quad y^{\prime \prime}(1)=-1 is guaranteed on a) (0,3)(0,3) b) (0,π)(0, \pi) c) (,3)(-\infty, 3) d) (,)(-\infty, \infty) 3) If a series solution is to be found for y4xy+4y=0,y(0)=2,y(0)=3y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+4 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=3 then a2=\mathrm{a}_{2}= (a) -4 (b) 8 (c) -8 (d) 1 e)NOTA 4)Suppose the solution to the differential equation y+3y=0y^{\prime \prime}+3 y=0 is written as a power series y=n=0anxny=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} What is the lower bound of the radius of convergence of this power series? a) 0 b)1 c)2 d) 3 e) \infty 5) The general solution for y+9y=0y^{\prime \prime \prime}+9 y^{\prime}=0 is : a) c1+c2cost+c3sintc_{1}+c_{2} \cos t+c_{3} \sin t b) c1+c2t+c3e9tc_{1}+c_{2} t+c_{3} e^{9 t} c) c1+c2e3t+c3e3tc_{1}+c_{2} e^{3 t}+c_{3} e^{-3 t} d) c1+c2e3t+c3te3tc_{1}+c_{2} e^{3 t}+c_{3} t e^{3 t} e)NOTA

Studdy Solution

STEP 1

ما هو المطلوب؟ المطلوب هو اختيار الإجابة الصحيحة من متعدد لكل سؤال من الأسئلة المتعلقة بالمعادلات التفاضلية. انتبه! بعض الخيارات قد تبدو صحيحة للوهلة الأولى، لذا من المهم فهم المفاهيم الأساسية جيداً لحل هذه الأسئلة.

STEP 2

1. السؤال الأول
2. السؤال الثاني
3. السؤال الثالث
4. السؤال الرابع
5. السؤال الخامس

STEP 3

**نحدد** الحل الخاص للمعادلة y(4)+y(3)=2+4exy^{(4)}+y^{(3)}=2+4 e^{x}.
بما أن الطرف الأيمن للمعادلة يحتوي على ثابت 22 ودالة أسية 4ex4e^x, فإن الحل الخاص **سيكون** من الشكل Ax3+BexAx^3 + Be^x. **الأس** 33 لـ xx يأتي من أن **الجذر** 00 ذو **multiplicity** يساوي 33 في المعادلة المميزة.
لذا، الإجابة الصحيحة هي (d).

STEP 4

**نبحث** عن الفترة التي يكون فيها حل مسألة القيمة الابتدائية مضموناً.
المعادلة هي sin(t)y+1t3y+ety=t3\sin(t) y^{\prime \prime \prime}+\frac{1}{t-3} y^{\prime \prime}+e^{t} y=t^{3} مع الشروط الابتدائية y(1)=0y(1)=0, y(1)=1y^{\prime}(1)=1, y(1)=1y^{\prime \prime}(1)=-1.
بما أن sin(t)\sin(t) تساوي صفر عند t=nπt=n\pi حيث nn عدد صحيح، و 1t3\frac{1}{t-3} غير معرفة عند t=3t=3, فإن **أصغر** فترة تحتوي على 11 وتكون فيها المعاملات مستمرة هي (0,3)(0,3).
لذا، الإجابة الصحيحة هي (a).

STEP 5

**نريد** إيجاد قيمة a2a_2 في حل متسلسلة القوى للمعادلة y4xy+4y=0y^{\prime \prime}-4xy^{\prime}+4y=0 مع الشروط الابتدائية y(0)=2y(0)=2, y(0)=3y^{\prime}(0)=3.
نعلم أن a0=y(0)=2a_0 = y(0) = 2 و a1=y(0)=3a_1 = y'(0) = 3. **بالتعويض** في المعادلة، نجد أن 2a240a1+4a0=02a_2 - 4 \cdot 0 \cdot a_1 + 4a_0 = 0, أي 2a2+8=02a_2 + 8 = 0, ومنه a2=4a_2 = -4.
لذا، الإجابة الصحيحة هي (a).

STEP 6

**المطلوب** هو إيجاد الحد الأدنى لنصف قطر التقارب لحل متسلسلة القوى للمعادلة y+3y=0y^{\prime \prime}+3y=0.
بما أن معاملات المعادلة هي دوال ثابتة، فإن نصف قطر التقارب **يكون** \infty.
لذا، الإجابة الصحيحة هي (e).

STEP 7

**نريد** إيجاد الحل العام للمعادلة y+9y=0y^{\prime \prime \prime}+9y^{\prime}=0.
المعادلة المميزة هي r3+9r=0r^3 + 9r = 0, أي r(r2+9)=0r(r^2 + 9) = 0. **جذور** هذه المعادلة هي r=0r=0 و r=±3ir=\pm 3i.
لذا، الحل العام **هو** c1+c2cos(3t)+c3sin(3t)c_1 + c_2\cos(3t) + c_3\sin(3t).
بما أن هذا الخيار غير موجود، فإن الإجابة الصحيحة هي (e) NOTA.

STEP 8

1. (d)
2. (a)
3. (a)
4. (e)
5. (e)

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord