Math / Data & Statistics

QuestionConsider a Bernoulli scheme of 4000 trials, with the probability of success in a single trial equal to $1 / 4$ . Then
a. The probability that at least 2001 trials will end in success is the same as the probability that at most 1999 trials will end in success.
b. The most probable number of sucesses in this experiment amounts to 1000 c. The probability of not obtaining any successes can be approximated using the Poisson theorem with an appropriate expression for $\lambda=4000 / 4$ , and this will be a good approximation. d. Probability of not getting any successes amounts to (3/4)^4000

Studdy Solution

STEP 1

1. Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego z 4000 prób.
2. Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi $\frac{1}{4}$ .
3. Rozkład liczby sukcesów jest opisany przez rozkład dwumianowy z parametrami $n = 4000$ i $p = \frac{1}{4}$ .

STEP 2

1. Sprawdzenie symetrii rozkładu dwumianowego dla punktu a.
2. Znalezienie najbardziej prawdopodobnej liczby sukcesów dla punktu b.
3. Zastosowanie twierdzenia Poissona dla punktu c.
4. Obliczenie prawdopodobieństwa dla punktu d.

STEP 3

Rozkład dwumianowy jest symetryczny wokół wartości oczekiwanej, która wynosi:
$np = 4000 \times \frac{1}{4} = 1000$
Prawdopodobieństwo, że liczba sukcesów jest większa lub równa 2001, jest równe prawdopodobieństwu, że liczba sukcesów jest mniejsza lub równa 1999, ponieważ rozkład jest symetryczny wokół 1000.

STEP 4

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów to wartość oczekiwana:
$np = 1000$

STEP 5

Zastosowanie twierdzenia Poissona:
Dla dużych $n$ i małych $p$ , rozkład dwumianowy można przybliżyć rozkładem Poissona z parametrem $\lambda = np$ .
$\lambda = \frac{4000}{4} = 1000$
Przybliżenie jest dobre, gdy $n$ jest duże, a $p$ jest małe.

STEP 6

Prawdopodobieństwo nieuzyskania żadnych sukcesów:
$(1-p)^n = \left(\frac{3}{4}\right)^{4000}$

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

1. Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego z 4000 prób.
2. Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi $\frac{1}{4}$ .
3. Rozkład liczby sukcesów jest opisany przez rozkład dwumianowy z parametrami $n = 4000$ i $p = \frac{1}{4}$ .

STEP 2

1. Sprawdzenie symetrii rozkładu dwumianowego dla punktu a.
2. Znalezienie najbardziej prawdopodobnej liczby sukcesów dla punktu b.
3. Zastosowanie twierdzenia Poissona dla punktu c.
4. Obliczenie prawdopodobieństwa dla punktu d.

STEP 3

STEP 4

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów to wartość oczekiwana:
$np = 1000$

STEP 5

Zastosowanie twierdzenia Poissona:
Dla dużych $n$ i małych $p$ , rozkład dwumianowy można przybliżyć rozkładem Poissona z parametrem $\lambda = np$ .
$\lambda = \frac{4000}{4} = 1000$
Przybliżenie jest dobre, gdy $n$ jest duże, a $p$ jest małe.

STEP 6

Prawdopodobieństwo nieuzyskania żadnych sukcesów:
$(1-p)^n = \left(\frac{3}{4}\right)^{4000}$

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

1. Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego z 4000 prób.2. Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi 14\frac{1}{4}41​.3. Rozkład liczby sukcesów jest opisany przez rozkład dwumianowy z parametrami n=4000n = 4000n=4000 i p=14p = \frac{1}{4}p=41​.

STEP 2

1. Sprawdzenie symetrii rozkładu dwumianowego dla punktu a.2. Znalezienie najbardziej prawdopodobnej liczby sukcesów dla punktu b.3. Zastosowanie twierdzenia Poissona dla punktu c.4. Obliczenie prawdopodobieństwa dla punktu d.

STEP 3

STEP 4

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów to wartość oczekiwana:np=1000 np = 1000 np=1000

STEP 5

Zastosowanie twierdzenia Poissona: Dla dużych nnn i małych ppp, rozkład dwumianowy można przybliżyć rozkładem Poissona z parametrem λ=np\lambda = npλ=np.λ=40004=1000\lambda = \frac{4000}{4} = 1000λ=44000​=1000Przybliżenie jest dobre, gdy nnn jest duże, a ppp jest małe.

STEP 6

Prawdopodobieństwo nieuzyskania żadnych sukcesów:(1−p)n=(34)4000 (1-p)^n = \left(\frac{3}{4}\right)^{4000} (1−p)n=(43​)4000

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego z 4000 prób.
2. Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi $\frac{1}{4}$ .
3. Rozkład liczby sukcesów jest opisany przez rozkład dwumianowy z parametrami $n = 4000$ i $p = \frac{1}{4}$ .

1. Sprawdzenie symetrii rozkładu dwumianowego dla punktu a.
2. Znalezienie najbardziej prawdopodobnej liczby sukcesów dla punktu b.
3. Zastosowanie twierdzenia Poissona dla punktu c.
4. Obliczenie prawdopodobieństwa dla punktu d.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów to wartość oczekiwana:
$np = 1000$

Zastosowanie twierdzenia Poissona:
Dla dużych $n$ i małych $p$ , rozkład dwumianowy można przybliżyć rozkładem Poissona z parametrem $\lambda = np$ .
$\lambda = \frac{4000}{4} = 1000$
Przybliżenie jest dobre, gdy $n$ jest duże, a $p$ jest małe.

Prawdopodobieństwo nieuzyskania żadnych sukcesów:
$(1-p)^n = \left(\frac{3}{4}\right)^{4000}$