Math / Algebra

QuestionConsider the function shown. Does the function have an inverse that is also a function? Use the drop-down menus to explain. $y=\sqrt{x+4}, x \geq-4$
Click the arrows to choose an answer from each menu. The range of the function $y=\sqrt{x+4}, x \geq-4$ is Choose... For each input of the given domain of $y=\sqrt{x+4}$ , there Choose... $\square$ of the range. For this reason, the inverse of $y=\sqrt{x+4}, x \geq-4$ Choose... a function.

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STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Determinar si la función $y = \sqrt{x+4}$ , con $x \geq -4$ , tiene una inversa que también sea una función. ¡Cuidado! Recuerda que una función solo tiene una inversa que también es una función si es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

STEP 2

1. Determinar el rango de la función.
2. Analizar la relación entre la entrada y la salida.
3. Concluir sobre la inversa.

STEP 3

¡Empecemos con energía!
Tenemos la función $y = \sqrt{x+4}$ con $x \geq -4$ .
Para encontrar el rango, necesitamos ver qué valores puede tomar $y$ .

STEP 4

Como la raíz cuadrada siempre es no negativa, el valor mínimo de $y$ es cero.
Esto ocurre cuando $x = -4$ , ya que $\sqrt{-4+4} = \sqrt{0} = 0$ .

STEP 5

A medida que $x$ crece, $x+4$ también crece, y por lo tanto $\sqrt{x+4}$ también crece. ¡El valor de $y$ puede ser tan grande como queramos!

STEP 6

Entonces, el rango de la función es $y \geq 0$ . ¡Excelente!

STEP 7

Ahora, veamos si para cada valor de entrada $x$ en el dominio ( $x \geq -4$ ), hay un único valor de salida $y$ en el rango ( $y \geq 0$ ).

STEP 8

Para cada valor de $x$ que cumple $x \geq -4$ , la expresión $\sqrt{x+4}$ produce un único valor.
Por ejemplo, si $x = -3$ , entonces $y = \sqrt{-3+4} = \sqrt{1} = 1$ .
Si $x = 0$ , entonces $y = \sqrt{0+4} = \sqrt{4} = 2$ . ¡No hay ambigüedad!

STEP 9

Esto significa que para cada valor de entrada, hay un único valor de salida. ¡Genial!

STEP 10

Dado que para cada valor de entrada hay un único valor de salida, y el rango cubre todos los valores no negativos, la función es biyectiva.

STEP 11

Por lo tanto, la inversa de la función $y = \sqrt{x+4}$ con $x \geq -4$ también es una función. ¡Lo logramos!

STEP 12

El rango de la función $y=\sqrt{x+4}, x \geq-4$ es $y \geq 0$ .
Para cada entrada del dominio dado de $y=\sqrt{x+4}$ , hay un único valor del rango.
Por esta razón, la inversa de $y=\sqrt{x+4}, x \geq-4$ es una función.

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STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Determinar si la función $y = \sqrt{x+4}$ , con $x \geq -4$ , tiene una inversa que también sea una función. ¡Cuidado! Recuerda que una función solo tiene una inversa que también es una función si es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

STEP 2

1. Determinar el rango de la función.
2. Analizar la relación entre la entrada y la salida.
3. Concluir sobre la inversa.

STEP 3

¡Empecemos con energía!
Tenemos la función $y = \sqrt{x+4}$ con $x \geq -4$ .
Para encontrar el rango, necesitamos ver qué valores puede tomar $y$ .

STEP 4

Como la raíz cuadrada siempre es no negativa, el valor mínimo de $y$ es cero.
Esto ocurre cuando $x = -4$ , ya que $\sqrt{-4+4} = \sqrt{0} = 0$ .

STEP 5

A medida que $x$ crece, $x+4$ también crece, y por lo tanto $\sqrt{x+4}$ también crece. ¡El valor de $y$ puede ser tan grande como queramos!

STEP 6

Entonces, el rango de la función es $y \geq 0$ . ¡Excelente!

STEP 7

Ahora, veamos si para cada valor de entrada $x$ en el dominio ( $x \geq -4$ ), hay un único valor de salida $y$ en el rango ( $y \geq 0$ ).

STEP 8

Para cada valor de $x$ que cumple $x \geq -4$ , la expresión $\sqrt{x+4}$ produce un único valor.
Por ejemplo, si $x = -3$ , entonces $y = \sqrt{-3+4} = \sqrt{1} = 1$ .
Si $x = 0$ , entonces $y = \sqrt{0+4} = \sqrt{4} = 2$ . ¡No hay ambigüedad!

STEP 9

Esto significa que para cada valor de entrada, hay un único valor de salida. ¡Genial!

STEP 10

Dado que para cada valor de entrada hay un único valor de salida, y el rango cubre todos los valores no negativos, la función es biyectiva.

STEP 11

Por lo tanto, la inversa de la función $y = \sqrt{x+4}$ con $x \geq -4$ también es una función. ¡Lo logramos!

STEP 12

El rango de la función $y=\sqrt{x+4}, x \geq-4$ es $y \geq 0$ .
Para cada entrada del dominio dado de $y=\sqrt{x+4}$ , hay un único valor del rango.
Por esta razón, la inversa de $y=\sqrt{x+4}, x \geq-4$ es una función.

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STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Determinar si la función y=x+4y = \sqrt{x+4}y=x+4​, con x≥−4x \geq -4x≥−4, tiene una inversa que también sea una función. ¡Cuidado! Recuerda que una función solo tiene una inversa que también es una función si es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

STEP 2

1. Determinar el rango de la función.2. Analizar la relación entre la entrada y la salida.3. Concluir sobre la inversa.

STEP 3

¡Empecemos con energía!Tenemos la función y=x+4y = \sqrt{x+4}y=x+4​ con x≥−4x \geq -4x≥−4.Para encontrar el rango, necesitamos ver qué valores puede tomar yyy.

STEP 4

Como la raíz cuadrada siempre es **no negativa**, el valor mínimo de yyy es **cero**.Esto ocurre cuando x=−4x = -4x=−4, ya que −4+4=0=0\sqrt{-4+4} = \sqrt{0} = 0−4+4​=0​=0.

STEP 5

A medida que xxx crece, x+4x+4x+4 también crece, y por lo tanto x+4\sqrt{x+4}x+4​ también crece. ¡El valor de yyy puede ser tan grande como queramos!

STEP 6

Entonces, el rango de la función es y≥0y \geq 0y≥0. ¡Excelente!

STEP 7

Ahora, veamos si para cada valor de entrada xxx en el dominio (x≥−4x \geq -4x≥−4), hay un único valor de salida yyy en el rango (y≥0y \geq 0y≥0).

STEP 8

STEP 9

Esto significa que para cada valor de entrada, hay un **único** valor de salida. ¡Genial!

STEP 10

Dado que para cada valor de entrada hay un único valor de salida, y el rango cubre todos los valores no negativos, la función es **biyectiva**.

STEP 11

Por lo tanto, la inversa de la función y=x+4y = \sqrt{x+4}y=x+4​ con x≥−4x \geq -4x≥−4 también es una función. ¡Lo logramos!

STEP 12

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¿Qué nos están preguntando? Determinar si la función $y = \sqrt{x+4}$ , con $x \geq -4$ , tiene una inversa que también sea una función. ¡Cuidado! Recuerda que una función solo tiene una inversa que también es una función si es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

1. Determinar el rango de la función.
2. Analizar la relación entre la entrada y la salida.
3. Concluir sobre la inversa.

¡Empecemos con energía!
Tenemos la función $y = \sqrt{x+4}$ con $x \geq -4$ .
Para encontrar el rango, necesitamos ver qué valores puede tomar $y$ .

Como la raíz cuadrada siempre es no negativa, el valor mínimo de $y$ es cero.
Esto ocurre cuando $x = -4$ , ya que $\sqrt{-4+4} = \sqrt{0} = 0$ .

A medida que $x$ crece, $x+4$ también crece, y por lo tanto $\sqrt{x+4}$ también crece. ¡El valor de $y$ puede ser tan grande como queramos!

Entonces, el rango de la función es $y \geq 0$ . ¡Excelente!

Ahora, veamos si para cada valor de entrada $x$ en el dominio ( $x \geq -4$ ), hay un único valor de salida $y$ en el rango ( $y \geq 0$ ).

Esto significa que para cada valor de entrada, hay un único valor de salida. ¡Genial!

Dado que para cada valor de entrada hay un único valor de salida, y el rango cubre todos los valores no negativos, la función es biyectiva.

Por lo tanto, la inversa de la función $y = \sqrt{x+4}$ con $x \geq -4$ también es una función. ¡Lo logramos!