Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

QuestionДавайте теперь подробно решим задачу с использованием формулы Пуассона для волнового уравнения. Мы будем решать задачу Коши для уравнения: utt=a2(uxx+uyy)u_{t t}=a^{2}\left(u_{x x}+u_{y y}\right)
с начальными условиями: u(x,y,0)=0,ut(x,y,0)=(2x+3y)2u(x, y, 0)=0, \quad u_{t}(x, y, 0)=(2 x+3 y)^{2}

Studdy Solution

STEP 1

Что нужно сделать? Найти решение волнового уравнения с заданными начальными условиями. Осторожно! Не перепутайте начальные условия для самой функции uu и её производной по времени utu_t.

STEP 2

1. Записать формулу Пуассона.
2. Вычислить среднее значение начальной скорости.
3. Найти решение.

STEP 3

Формула Пуассона для двумерного волнового уравнения выглядит так: u(x,y,t)=12πa∬Satψ(ξ,η)a2t2−(x−ξ)2−(y−η)2dξdη+t⋅12πa∬Satϕ(ξ,η)a2t2−(x−ξ)2−(y−η)2dξdη u(x,y,t) = \frac{1}{2\pi a} \iint\limits_{S_{at}} \frac{\psi(\xi, \eta)}{\sqrt{a^2t^2 - (x-\xi)^2 - (y-\eta)^2}} d\xi d\eta + t \cdot \frac{1}{2\pi a} \iint\limits_{S_{at}} \frac{\phi(\xi, \eta)}{\sqrt{a^2t^2 - (x-\xi)^2 - (y-\eta)^2}} d\xi d\eta где ϕ(ξ,η)=u(ξ,η,0)\phi(\xi, \eta) = u(\xi, \eta, 0) – **начальное значение** функции, а ψ(ξ,η)=ut(ξ,η,0)\psi(\xi, \eta) = u_t(\xi, \eta, 0) – **начальная скорость**. SatS_{at} – круг радиуса atat с центром в точке (x,y)(x, y).

STEP 4

В нашем случае ϕ(x,y)=u(x,y,0)=0\phi(x, y) = u(x, y, 0) = 0, поэтому первый интеграл **пропадает**.
Остаётся только второй интеграл, содержащий ψ(x,y)\psi(x, y).

STEP 5

У нас ψ(x,y)=ut(x,y,0)=(2x+3y)2\psi(x, y) = u_t(x, y, 0) = (2x + 3y)^2.
Так как ϕ(x,y)=0\phi(x,y) = 0, формула Пуассона упрощается: u(x,y,t)=t2πa∬Sat(2ξ+3η)2a2t2−(x−ξ)2−(y−η)2dξdη u(x,y,t) = \frac{t}{2\pi a} \iint\limits_{S_{at}} \frac{(2\xi + 3\eta)^2}{\sqrt{a^2t^2 - (x-\xi)^2 - (y-\eta)^2}} d\xi d\eta

STEP 6

Заметим, что ψ(x,y)\psi(x, y) – **полином второй степени**.
Среднее значение такого полинома по кругу SatS_{at} равно его значению в центре круга, то есть ψ(x,y)\psi(x, y), умноженному на площадь круга π(at)2\pi (at)^2, делённому на площадь круга: 1π(at)2∬Sat(2ξ+3η)2dξdη=(2x+3y)2 \frac{1}{\pi (at)^2} \iint\limits_{S_{at}} (2\xi + 3\eta)^2 d\xi d\eta = (2x + 3y)^2

STEP 7

Подставим среднее значение ψ(x,y)\psi(x, y) в формулу Пуассона: u(x,y,t)=t2πa⋅(2x+3y)2⋅∬Sat1a2t2−(x−ξ)2−(y−η)2dξdη u(x,y,t) = \frac{t}{2\pi a} \cdot (2x + 3y)^2 \cdot \iint\limits_{S_{at}} \frac{1}{\sqrt{a^2t^2 - (x-\xi)^2 - (y-\eta)^2}} d\xi d\eta

STEP 8

Интеграл в этой формуле равен площади круга SatS_{at}, умноженной на 2πat2\pi a t: ∬Sat1a2t2−(x−ξ)2−(y−η)2dξdη=2πat \iint\limits_{S_{at}} \frac{1}{\sqrt{a^2t^2 - (x-\xi)^2 - (y-\eta)^2}} d\xi d\eta = 2\pi at

STEP 9

Подставляем значение интеграла: u(x,y,t)=t2πa⋅(2x+3y)2⋅2πat=t2(2x+3y)2 u(x,y,t) = \frac{t}{2\pi a} \cdot (2x + 3y)^2 \cdot 2\pi a t = t^2 (2x + 3y)^2

STEP 10

Итак, решение волнового уравнения: u(x,y,t)=t2(2x+3y)2u(x, y, t) = t^2 (2x + 3y)^2.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord