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QuestionBestimme die Funktionsgleichung f(x)=caxf(x)=c \cdot a^{x} durch die Punkte P und Q. Für welches xx gilt f(x)=256f(x)=256? a) P(04)P(0 \mid 4), Q(40,5)Q(4 \mid 0,5) b) P(00,25)P(0 \mid 0,25), Q(616)Q(6 \mid 16) c) P(0512)P(0 \mid 512), Q(38)Q(-3 \mid 8)

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen1. Die Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form f(x)=caxf(x)=c \cdot a^{x} . Die Funktion verläuft durch die Punkte und Q3. Wir müssen die Funktionsgleichung bestimmen und den Wert von xx finden, für den die Funktion den Wert256 hat

STEP 2

Zuerst setzen wir die Koordinaten von in die Funktionsgleichung ein, um den Wert von cc zu bestimmen.
f(x)=caxf(x) = c \cdot a^{x}

STEP 3

Setzen Sie die Koordinaten von in die Gleichung ein.
a) =ca0 = c \cdot a^{0}b) 0,25=ca00,25 = c \cdot a^{0}c) 512=ca0512 = c \cdot a^{0}

STEP 4

Da jede Zahl zur Potenz0 gleich1 ist, ist cc gleich dem y-Wert des Punktes.
a) c=4c =4b) c=0,25c =0,25c) c=512c =512

STEP 5

un setzen wir die Koordinaten von Q in die Funktionsgleichung ein, um den Wert von aa zu bestimmen.
f(x)=caxf(x) = c \cdot a^{x}

STEP 6

Setzen Sie die Koordinaten von Q und den Wert von cc in die Gleichung ein.
a) 0,5=4a40,5 =4 \cdot a^{4}b) 16=0,25a616 =0,25 \cdot a^{6}c) 8=512a38 =512 \cdot a^{-3}

STEP 7

ösen Sie die Gleichung nach aa auf.
a) a=0,5/44a = \sqrt[4]{0,5 /4}b) a=16/0,256a = \sqrt[6]{16 /0,25}c) a=/5123a = \sqrt[-3]{ /512}

STEP 8

Berechnen Sie den Wert von aa.
a) a=0,5a =0,5b) a=2a =2c) a=2a =2

STEP 9

Jetzt haben wir die Werte für cc und aa, also können wir die Funktionsgleichung schreiben.
a) f(x)=4,5xf(x) =4 \cdot,5^{x}b) f(x)=,252xf(x) =,25 \cdot2^{x}c) f(x)=5122xf(x) =512 \cdot2^{x}

STEP 10

Um den Wert von xx zu finden, für den die Funktion den Wert256 hat, setzen wir f(x)=256f(x) =256 und lösen die Gleichung nach xx auf.
a) 256=40,5x256 =4 \cdot0,5^{x}b) 256=0,252x256 =0,25 \cdot2^{x}c) 256=5122x256 =512 \cdot2^{x}

STEP 11

ösen Sie die Gleichung nach xx auf.
a) x=log0,52564x = \log_{0,5} \frac{256}{4}b) x=log2560,25x = \log_{} \frac{256}{0,25}c) x=log256512x = \log_{} \frac{256}{512}

STEP 12

Berechnen Sie den Wert von xx.
a) x=4x =4b) x=8x =8c) x=x = -Die Funktionen sind alsoa) f(x)=40,5xf(x) =4 \cdot0,5^{x}, für x=4x =4 hat die Funktion den Wert256b) f(x)=0,252xf(x) =0,25 \cdot2^{x}, für x=8x =8 hat die Funktion den Wert256c) f(x)=5122xf(x) =512 \cdot2^{x}, für x=x = - hat die Funktion den Wert256

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