Math  /  Algebra

QuestionDetermina la retta comune ai due fasci di equazioni y=mx2m+1y=m x-2 m+1 e (2k)x(k+1)y3=0(2-k) x-(k+1) y-3=0, e inc ii relativi valori di mm e kk. [y=2x3,m=2,k=[y=2 x-3, m=2, k=
Considera il triangolo individuato dai centri A,B,CA, B, C dei tre fasci di rette di equazioni:

Studdy Solution

STEP 1

1. Dobbiamo determinare la retta comune ai due fasci di equazioni.
2. Le equazioni dei fasci sono y=mx2m+1 y = mx - 2m + 1 e (2k)x(k+1)y3=0 (2-k)x - (k+1)y - 3 = 0 .
3. Dobbiamo trovare i valori di m m e k k che rendono le due equazioni equivalenti.
4. La soluzione parziale fornita è y=2x3,m=2,k= y = 2x - 3, m = 2, k = .

STEP 2

1. Riscrivere le equazioni in forma esplicita.
2. Imporre l'uguaglianza delle equazioni.
3. Risolvere il sistema di equazioni per m m e k k .
4. Verificare la soluzione trovata.

STEP 3

Riscrivere le equazioni in forma esplicita.
La prima equazione è già in forma esplicita: y=mx2m+1 y = mx - 2m + 1 .
La seconda equazione può essere riscritta come:
(2k)x(k+1)y3=0 (2-k)x - (k+1)y - 3 = 0
(k+1)y=(2k)x3 (k+1)y = (2-k)x - 3
y=(2k)(k+1)x3(k+1) y = \frac{(2-k)}{(k+1)}x - \frac{3}{(k+1)}

STEP 4

Imporre l'uguaglianza delle equazioni.
Le due equazioni devono essere uguali, quindi:
mx2m+1=(2k)(k+1)x3(k+1) mx - 2m + 1 = \frac{(2-k)}{(k+1)}x - \frac{3}{(k+1)}

STEP 5

Risolvere il sistema di equazioni per m m e k k .
Confrontiamo i coefficienti di x x e i termini costanti:
1. m=(2k)(k+1) m = \frac{(2-k)}{(k+1)}
2. 2m+1=3(k+1)-2m + 1 = -\frac{3}{(k+1)}

Sostituendo m=2 m = 2 nella prima equazione:
2=(2k)(k+1) 2 = \frac{(2-k)}{(k+1)}
Moltiplicando entrambi i membri per (k+1) (k+1) :
2(k+1)=2k 2(k+1) = 2-k
2k+2=2k 2k + 2 = 2 - k
3k=0 3k = 0
k=0 k = 0

STEP 6

Verificare la soluzione trovata.
Sostituendo m=2 m = 2 e k=0 k = 0 nelle equazioni originali, otteniamo:
Per y=mx2m+1 y = mx - 2m + 1 :
y=2x4+1=2x3 y = 2x - 4 + 1 = 2x - 3
Per (2k)x(k+1)y3=0 (2-k)x - (k+1)y - 3 = 0 :
(20)x(0+1)y3=0 (2-0)x - (0+1)y - 3 = 0
2xy3=0 2x - y - 3 = 0
y=2x3 y = 2x - 3
Le equazioni coincidono, quindi la soluzione è corretta.
La retta comune è y=2x3 y = 2x - 3 , con m=2 m = 2 e k=0 k = 0 .

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