Math / Data & Statistics

Question4 Die Wahrscheinlichkeit einer Jungengeburt beträgt ca. 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche mehr als 55% der Neugeborenen männlich sind? Schätzen Sie zuerst. a) In einem Ort mit wöchentlich 50 Geburten. b) In einer Stadt mit wöchentlich 400 Geburten.

Studdy Solution

STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass mehr als 55% der Babys in einer Woche Jungen sind, wenn normalerweise 50% Jungen geboren werden. Vorsicht! Verwechsle nicht 55% der Geburten mit 55% mehr Geburten als der Durchschnitt!

STEP 2

1. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
2. Wahrscheinlichkeit mit 50 Geburten berechnen
3. Wahrscheinlichkeit mit 400 Geburten berechnen

STEP 3

Wir definieren $p$ als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby ein Junge ist, also $p = 0.5$ .
Das ist unsere Basiswahrscheinlichkeit!

STEP 4

Wir berechnen den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ für die Anzahl der Jungengeburten.
Die Formeln dafür sind $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ , wobei $n$ die Anzahl der Geburten ist.

STEP 5

Für $n = 50$ Geburten: $\mu = 50 \cdot 0.5 = 25$ und $\sigma = \sqrt{50 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5)} = \sqrt{12.5} \approx 3.54$ .
Das heißt, wir erwarten im Durchschnitt 25 Jungen und die typische Abweichung davon ist etwa 3.54.

STEP 6

Für $n = 400$ Geburten: $\mu = 400 \cdot 0.5 = 200$ und $\sigma = \sqrt{400 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5)} = \sqrt{100} = 10$ .
Hier erwarten wir im Durchschnitt 200 Jungen und die typische Abweichung ist 10.

STEP 7

55% von 50 Geburten sind $50 \cdot 0.55 = 27.5$ Geburten.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für mehr als 27.5 Jungen, also mindestens 28 Jungen.

STEP 8

Wir verwenden die Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung.
Dafür standardisieren wir den Wert 27.5 mit $z = \frac{27.5 - \mu}{\sigma} = \frac{27.5 - 25}{3.54} \approx 0.71$ .

STEP 9

Mit einer z-Tabelle oder einem Taschenrechner finden wir die Wahrscheinlichkeit $P(Z > 0.71) \approx 0.24$ , also 24%.

STEP 10

55% von 400 Geburten sind $400 \cdot 0.55 = 220$ Geburten.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für mehr als 220 Jungen.

STEP 11

Wir standardisieren den Wert 220: $z = \frac{220 - \mu}{\sigma} = \frac{220 - 200}{10} = 2$ .

STEP 12

Die Wahrscheinlichkeit $P(Z > 2) \approx 0.023$ , also 2.3%.

STEP 13

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa 24%. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 400 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa 2.3%.

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Question4 Die Wahrscheinlichkeit einer Jungengeburt beträgt ca. 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche mehr als 55% der Neugeborenen männlich sind? Schätzen Sie zuerst. a) In einem Ort mit wöchentlich 50 Geburten. b) In einer Stadt mit wöchentlich 400 Geburten.

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Was ist hier gefragt? Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass mehr als 55% der Babys in einer Woche Jungen sind, wenn normalerweise 50% Jungen geboren werden. Vorsicht! Verwechsle nicht 55% der Geburten mit 55% mehr Geburten als der Durchschnitt!

STEP 2

1. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
2. Wahrscheinlichkeit mit 50 Geburten berechnen
3. Wahrscheinlichkeit mit 400 Geburten berechnen

STEP 3

Wir definieren $p$ als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby ein Junge ist, also $p = 0.5$ .
Das ist unsere Basiswahrscheinlichkeit!

STEP 4

Wir berechnen den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ für die Anzahl der Jungengeburten.
Die Formeln dafür sind $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ , wobei $n$ die Anzahl der Geburten ist.

STEP 5

Für $n = 50$ Geburten: $\mu = 50 \cdot 0.5 = 25$ und $\sigma = \sqrt{50 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5)} = \sqrt{12.5} \approx 3.54$ .
Das heißt, wir erwarten im Durchschnitt 25 Jungen und die typische Abweichung davon ist etwa 3.54.

STEP 6

Für $n = 400$ Geburten: $\mu = 400 \cdot 0.5 = 200$ und $\sigma = \sqrt{400 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5)} = \sqrt{100} = 10$ .
Hier erwarten wir im Durchschnitt 200 Jungen und die typische Abweichung ist 10.

STEP 7

55% von 50 Geburten sind $50 \cdot 0.55 = 27.5$ Geburten.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für mehr als 27.5 Jungen, also mindestens 28 Jungen.

STEP 8

Wir verwenden die Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung.
Dafür standardisieren wir den Wert 27.5 mit $z = \frac{27.5 - \mu}{\sigma} = \frac{27.5 - 25}{3.54} \approx 0.71$ .

STEP 9

Mit einer z-Tabelle oder einem Taschenrechner finden wir die Wahrscheinlichkeit $P(Z > 0.71) \approx 0.24$ , also 24%.

STEP 10

55% von 400 Geburten sind $400 \cdot 0.55 = 220$ Geburten.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für mehr als 220 Jungen.

STEP 11

Wir standardisieren den Wert 220: $z = \frac{220 - \mu}{\sigma} = \frac{220 - 200}{10} = 2$ .

STEP 12

Die Wahrscheinlichkeit $P(Z > 2) \approx 0.023$ , also 2.3%.

STEP 13

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa 24%. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 400 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa 2.3%.

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Question4 Die Wahrscheinlichkeit einer Jungengeburt beträgt ca. 50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche mehr als 55% der Neugeborenen männlich sind? Schätzen Sie zuerst. a) In einem Ort mit wöchentlich 50 Geburten. b) In einer Stadt mit wöchentlich 400 Geburten.

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STEP 1

Was ist hier gefragt? Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass mehr als 55% der Babys in einer Woche Jungen sind, wenn normalerweise 50% Jungen geboren werden. Vorsicht! Verwechsle nicht 55% der Geburten mit 55% *mehr* Geburten als der Durchschnitt!

STEP 2

1. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen2. Wahrscheinlichkeit mit 50 Geburten berechnen3. Wahrscheinlichkeit mit 400 Geburten berechnen

STEP 3

Wir **definieren** ppp als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby ein Junge ist, also p=0.5p = 0.5p=0.5.Das ist unsere **Basiswahrscheinlichkeit**!

STEP 4

Wir berechnen den **Erwartungswert** μ\muμ und die **Standardabweichung** σ\sigmaσ für die Anzahl der Jungengeburten.Die Formeln dafür sind μ=n⋅p\mu = n \cdot pμ=n⋅p und σ=n⋅p⋅(1−p)\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}σ=n⋅p⋅(1−p)​, wobei nnn die Anzahl der Geburten ist.

STEP 5

STEP 6

STEP 7

55% von 50 Geburten sind 50⋅0.55=27.550 \cdot 0.55 = 27.550⋅0.55=27.5 Geburten.Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für *mehr* als 27.5 Jungen, also mindestens 28 Jungen.

STEP 8

Wir verwenden die **Normalverteilung** als Näherung für die Binomialverteilung.Dafür **standardisieren** wir den Wert 27.5 mit z=27.5−μσ=27.5−253.54≈0.71z = \frac{27.5 - \mu}{\sigma} = \frac{27.5 - 25}{3.54} \approx 0.71z=σ27.5−μ​=3.5427.5−25​≈0.71.

STEP 9

Mit einer **z-Tabelle** oder einem Taschenrechner finden wir die Wahrscheinlichkeit P(Z>0.71)≈0.24P(Z > 0.71) \approx 0.24P(Z>0.71)≈0.24, also **24%**.

STEP 10

55% von 400 Geburten sind 400⋅0.55=220400 \cdot 0.55 = 220400⋅0.55=220 Geburten.Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für *mehr* als 220 Jungen.

STEP 11

Wir **standardisieren** den Wert 220: z=220−μσ=220−20010=2z = \frac{220 - \mu}{\sigma} = \frac{220 - 200}{10} = 2z=σ220−μ​=10220−200​=2.

STEP 12

Die Wahrscheinlichkeit P(Z>2)≈0.023P(Z > 2) \approx 0.023P(Z>2)≈0.023, also **2.3%**.

STEP 13

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa **24%**. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 400 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa **2.3%**.

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Was ist hier gefragt? Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass mehr als 55% der Babys in einer Woche Jungen sind, wenn normalerweise 50% Jungen geboren werden. Vorsicht! Verwechsle nicht 55% der Geburten mit 55% mehr Geburten als der Durchschnitt!

1. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
2. Wahrscheinlichkeit mit 50 Geburten berechnen
3. Wahrscheinlichkeit mit 400 Geburten berechnen

Wir definieren $p$ als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Baby ein Junge ist, also $p = 0.5$ .
Das ist unsere Basiswahrscheinlichkeit!

Wir berechnen den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ für die Anzahl der Jungengeburten.
Die Formeln dafür sind $\mu = n \cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ , wobei $n$ die Anzahl der Geburten ist.

55% von 50 Geburten sind $50 \cdot 0.55 = 27.5$ Geburten.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für mehr als 27.5 Jungen, also mindestens 28 Jungen.

Wir verwenden die Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung.
Dafür standardisieren wir den Wert 27.5 mit $z = \frac{27.5 - \mu}{\sigma} = \frac{27.5 - 25}{3.54} \approx 0.71$ .

Mit einer z-Tabelle oder einem Taschenrechner finden wir die Wahrscheinlichkeit $P(Z > 0.71) \approx 0.24$ , also 24%.

55% von 400 Geburten sind $400 \cdot 0.55 = 220$ Geburten.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für mehr als 220 Jungen.

Wir standardisieren den Wert 220: $z = \frac{220 - \mu}{\sigma} = \frac{220 - 200}{10} = 2$ .

Die Wahrscheinlichkeit $P(Z > 2) \approx 0.023$ , also 2.3%.

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa 24%. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 400 Geburten mehr als 55% Jungen sind, beträgt etwa 2.3%.