Studdy AI Logo
Math  /  Numbers & Operations

QuestionDimostrare che ∀n≥0,11\forall n \geq 0,11 divide 9n+1+26n+19^{n+1}+2^{6 n+1}

Studdy Solution

STEP 1

1. Dobbiamo dimostrare che 11 11 divide 9n+1+26n+1 9^{n+1} + 2^{6n+1} per ogni n≥0 n \geq 0 .
2. Utilizzeremo il principio dell'induzione matematica.

STEP 2

1. Base dell'induzione.
2. Ipotesi induttiva.
3. Passo induttivo.

STEP 3

Verifica la base dell'induzione per n=0 n = 0 .
Calcoliamo 90+1+26⋅0+1=91+21=9+2=11 9^{0+1} + 2^{6 \cdot 0 + 1} = 9^1 + 2^1 = 9 + 2 = 11 .
Poiché 11 11 divide 11 11 , la base dell'induzione è verificata.

STEP 4

Assumiamo che la proposizione sia vera per n=k n = k , cioè assumiamo che 11 11 divide 9k+1+26k+1 9^{k+1} + 2^{6k+1} .
Quindi, esiste un intero m m tale che:
9k+1+26k+1=11m 9^{k+1} + 2^{6k+1} = 11m

STEP 5

Dimostriamo che la proposizione è vera per n=k+1 n = k+1 .
Dobbiamo dimostrare che 11 11 divide 9(k+1)+1+26(k+1)+1 9^{(k+1)+1} + 2^{6(k+1)+1} .
Calcoliamo:
9k+2+26k+7=9⋅9k+1+26⋅26k+1 9^{k+2} + 2^{6k+7} = 9 \cdot 9^{k+1} + 2^6 \cdot 2^{6k+1}
Utilizzando l'ipotesi induttiva:
=9(11m−26k+1)+64⋅26k+1 = 9(11m - 2^{6k+1}) + 64 \cdot 2^{6k+1}
=99m−9⋅26k+1+64⋅26k+1 = 99m - 9 \cdot 2^{6k+1} + 64 \cdot 2^{6k+1}
=99m+55⋅26k+1 = 99m + 55 \cdot 2^{6k+1}
Poiché 99m 99m e 55⋅26k+1 55 \cdot 2^{6k+1} sono entrambi divisibili per 11 11 , segue che 11 11 divide l'intera espressione.
Abbiamo dimostrato che 11 11 divide 9n+1+26n+1 9^{n+1} + 2^{6n+1} per ogni n≥0 n \geq 0 .

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord