Questiona) $\alpha+\frac{4}{\alpha} \geq 4$
ק) $\left(\alpha+\frac{4}{\alpha}\right) \cdot\left(\beta+\frac{4}{\beta}\right) \geq 16$

STEP 1

STEP 2

Υψηλό_Επίπεδο_Βήμα: 1 Εφαρμόζουμε την ανισότητα AM-GM για τον αριθμό $a$ και τον αριθμό $\frac{4}{a}$:
$$a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 4$$
Η ανισότητα ισχύει με ισότητα όταν $a = \frac{4}{a}$, δηλαδή όταν $a = 2$. Υψηλό_Επίπεδο_Βήμα_Ολοκληρώθηκε: TRUE

STEP 3

Υψηλό_Επίπεδο_Βήμα: 2 Εφαρμόζουμε την ανισότητα AM-GM για τον αριθμό $\beta$ και τον αριθμό $\frac{4}{\beta}$:
$$\beta + \frac{4}{\beta} \geq 2\sqrt{\beta \cdot \frac{4}{\beta}} = 2\sqrt{4} = 4$$
Η ανισότητα ισχύει με ισότητα όταν $\beta = \frac{4}{\beta}$, δηλαδή όταν $\beta = 2$. Υψηλό_Επίπεδο_Βήμα_Ολοκληρώθηκε: FALSE

STEP 4

Υψηλό_Επίπεδο_Βήμα: 2 Συνδυάζουμε τις δύο ανισότητες:
$$\left( a + \frac{4}{a} \right) \cdot \left( \beta + \frac{4}{\beta} \right) \geq 4 \cdot 4 = 16$$
Η ανισότητα ισχύει με ισότητα όταν $a = 2$ και $\beta = 2$. Υψηλό_Επίπεδο_Βήμα_Ολοκληρώθηκε: TRUE
Η λύση της άσκησης είναι πλήρης.