Math  /  Algebra

QuestionDr. Abdullah Shukri
Let the orthogonal matrix QQ be: Q=(0110)Q=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) p 1: Verify Orthogonality 2: Find the eigenvalues p 3: Find the eigenvectors

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

للتحقق من التعامدية، يجب أن نثبت أن QTQ=I Q^T Q = I .
QT=(0110) Q^T = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)
نحسب QTQ Q^T Q :
QTQ=(0110)(0110) Q^T Q = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)
=((00+11)(01+10)(10+01)(11+00)) = \left(\begin{array}{cc} (0 \cdot 0 + 1 \cdot 1) & (0 \cdot -1 + 1 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot -1 + 0 \cdot 0) \end{array}\right)
=(1001)=I = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) = I

STEP 3

لإيجاد القيم الذاتية، نحل المعادلة المميزة:
det(QλI)=0 \det(Q - \lambda I) = 0
QλI=(0110)λ(1001) Q - \lambda I = \left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) - \lambda \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)
=(λ11λ) = \left(\begin{array}{cc} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{array}\right)
نحسب المحدد:
det(QλI)=(λ)(λ)(1)(1) \det(Q - \lambda I) = (-\lambda)(-\lambda) - (1)(-1)
=λ2+1 = \lambda^2 + 1
نحل المعادلة:
λ2+1=0 \lambda^2 + 1 = 0
λ2=1 \lambda^2 = -1
λ=±i \lambda = \pm i

STEP 4

لإيجاد المتجهات الذاتية، نحل:
(QλI)v=0 (Q - \lambda I) \mathbf{v} = 0
لنبدأ بالقيمة الذاتية λ=i \lambda = i :
(i11i)(v1v2)=(00) \left(\begin{array}{cc} -i & -1 \\ 1 & -i \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)
نحل المعادلة:
iv1v2=0 -iv_1 - v_2 = 0 v1iv2=0 v_1 - iv_2 = 0
من المعادلة الأولى:
v2=iv1 v_2 = -iv_1
من المعادلة الثانية:
v1=iv2 v_1 = iv_2
نختار v1=1 v_1 = 1 و v2=i v_2 = -i .
المتجه الذاتي المقابل لـ λ=i \lambda = i هو:
v=(1i) \mathbf{v} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right)
نكرر العملية للقيمة الذاتية λ=i \lambda = -i :
(i11i)(v1v2)=(00) \left(\begin{array}{cc} i & -1 \\ 1 & i \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)
نحل المعادلة:
iv1v2=0 iv_1 - v_2 = 0 v1+iv2=0 v_1 + iv_2 = 0
من المعادلة الأولى:
v2=iv1 v_2 = iv_1
من المعادلة الثانية:
v1=iv2 v_1 = -iv_2
نختار v1=1 v_1 = 1 و v2=i v_2 = i .
المتجه الذاتي المقابل لـ λ=i \lambda = -i هو:
v=(1i) \mathbf{v} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ i \end{array}\right)

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord