Math / Calculus

QuestionEsercizio 1. Rispondere al più a uno dei seguenti quesiti. i) Calcolare, al variare del parametro $\alpha \in[0,+\infty)$ , il limite per $n \rightarrow+\infty$ della successione $\left(a_{n}\right)_{n}$ tale che $a_{n}=\frac{\sin \frac{\sqrt{6}}{n}}{\exp \left(\frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}\right)-1}\left[1-\cos \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)\right], \quad n \geq 1$

Studdy Solution

STEP 1

1. La successione $\left(a_{n}\right)_{n}$ è definita per $n \geq 1$ .
2. Stiamo cercando il limite di $a_n$ quando $n \to +\infty$ .
3. Il parametro $\alpha$ varia nell'intervallo $[0, +\infty)$ .

STEP 2

1. Analizzare il comportamento di ciascun termine della successione.
2. Calcolare il limite di ciascun termine individualmente.
3. Combinare i risultati per determinare il limite complessivo di $a_n$ .

STEP 3

Analizziamo il comportamento del numeratore $\sin \frac{\sqrt{6}}{n}$ per $n \to +\infty$ :
Poiché $\frac{\sqrt{6}}{n} \to 0$ quando $n \to +\infty$ , possiamo usare l'approssimazione $\sin x \approx x$ per $x \to 0$ . Quindi:
$\sin \frac{\sqrt{6}}{n} \approx \frac{\sqrt{6}}{n}$

STEP 4

Analizziamo il comportamento del denominatore $\exp \left(\frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}\right) - 1$ per $n \to +\infty$ :
Per $n \to +\infty$ , $\frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}} \to 0$ . Usando l'approssimazione $\exp(x) \approx 1 + x$ per $x \to 0$ , abbiamo:
$\exp \left(\frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}\right) \approx 1 + \frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}$
Quindi:
$\exp \left(\frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}\right) - 1 \approx \frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}$

STEP 5

Analizziamo il comportamento del termine $\left[1-\cos \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right)\right]$ per $n \to +\infty$ :
Poiché $\frac{1}{n^{\alpha}} \to 0$ quando $n \to +\infty$ , possiamo usare l'approssimazione $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ per $x \to 0$ . Quindi:
$1 - \cos \left(\frac{1}{n^{\alpha}}\right) \approx \frac{1}{2n^{2\alpha}}$

STEP 6

Calcoliamo il limite di $a_n$ combinando i risultati precedenti:
$a_n \approx \frac{\frac{\sqrt{6}}{n}}{\frac{2 \log n}{n^{\frac{3}{2}}}} \cdot \frac{1}{2n^{2\alpha}}$
$a_n \approx \frac{\sqrt{6} \cdot n^{\frac{3}{2}}}{2n \cdot 2 \log n} \cdot \frac{1}{2n^{2\alpha}}$
$a_n \approx \frac{\sqrt{6} \cdot n^{\frac{1}{2} - 2\alpha}}{4 \log n}$

STEP 7

Consideriamo i casi per $\alpha$ :
- Se $\alpha > \frac{1}{4}$ , allora $n^{\frac{1}{2} - 2\alpha} \to 0$ e quindi $a_n \to 0$ . - Se $\alpha = \frac{1}{4}$ , allora $n^{\frac{1}{2} - 2\alpha} = 1$ e quindi $a_n \approx \frac{\sqrt{6}}{4 \log n} \to 0$ . - Se $\alpha < \frac{1}{4}$ , allora $n^{\frac{1}{2} - 2\alpha} \to \infty$ e il comportamento di $a_n$ dipende da $\log n$ , ma generalmente diverge.
La soluzione è che il limite di $a_n$ per $n \to +\infty$ è $0$ per $\alpha \geq \frac{1}{4}$ , e diverge per $\alpha < \frac{1}{4}$ .

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