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Math  /  Calculus

QuestionEsercizio 3. Sia data, per a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, la funzione f:R→R:x↦f(x)={log⁡(−x)x+1,x<−1ax2+bx,−1≤x≤0xa+10⋅exp⁡(−bx),0<x˙f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\log (-x)}{x+1}, & x<-1 \\ a x^{2}+b x, & -1 \leq x \leq 0 \\ x^{a+10} \cdot \exp \left(-\frac{b}{x}\right), & 0<\dot{x} \end{array}\right.
Stabilire per quali valori dei parametri a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} la funzione ff è continua su R\mathbb{R}. [exp⁡(−bx)=e−(b/x)]\left[\exp \left(-\frac{b}{x}\right)=e^{-(b / x)}\right]

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo problema? Dobbiamo trovare i valori di aa e bb che rendono la funzione f(x)f(x) continua per tutti i valori di xx. Attenzione! Bisogna fare attenzione ai punti di raccordo, cioè dove cambia la definizione della funzione!

STEP 2

1. Continuità in x=−1x = -1
2. Continuità in x=0x = 0

STEP 3

Calcoliamo il limite sinistro: lim⁡x→−1−f(x)=lim⁡x→−1−log⁡(−x)x+1.\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{\log(-x)}{x+1}. Dato che log⁡(1)=0\log(1) = 0 e (−1)+1=0(-1) + 1 = 0, abbiamo una forma indeterminata 00\frac{0}{0}.
Possiamo usare la regola di de l'Hôpital! lim⁡x→−1−ddxlog⁡(−x)ddx(x+1)=lim⁡x→−1−−1x1=lim⁡x→−1−−1x=−1−1=1.\lim_{x \to -1^-} \frac{\frac{d}{dx} \log(-x)}{\frac{d}{dx} (x+1)} = \lim_{x \to -1^-} \frac{-\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to -1^-} -\frac{1}{x} = -\frac{1}{-1} = 1. Quindi, il limite sinistro è **1**.

STEP 4

Calcoliamo f(−1)f(-1): f(−1)=a(−1)2+b(−1)=a−b.f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) = a - b.

STEP 5

Per la continuità in x=−1x = -1, il limite sinistro deve essere uguale al valore della funzione in quel punto.
Quindi: 1=a−b.1 = a - b.

STEP 6

Calcoliamo il limite sinistro: lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−ax2+bx=a(0)2+b(0)=0.\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} ax^2 + bx = a(0)^2 + b(0) = 0. Quindi, il limite sinistro è **0**.

STEP 7

Calcoliamo il limite destro: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+xa+10⋅exp⁡(−bx).\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{a+10} \cdot \exp\left(-\frac{b}{x}\right). Se b>0b > 0, allora lim⁡x→0+−bx=−∞\lim_{x \to 0^+} -\frac{b}{x} = -\infty, e quindi lim⁡x→0+exp⁡(−bx)=0\lim_{x \to 0^+} \exp\left(-\frac{b}{x}\right) = 0.
Di conseguenza, lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0. Se b<0b < 0, allora lim⁡x→0+−bx=∞\lim_{x \to 0^+} -\frac{b}{x} = \infty, e quindi lim⁡x→0+exp⁡(−bx)=∞\lim_{x \to 0^+} \exp\left(-\frac{b}{x}\right) = \infty.
In questo caso, il limite dipende dal valore di aa. Se b=0b = 0, allora lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+xa+10=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^{a+10} = 0 se a+10>0a + 10 > 0, cioè a>−10a > -10.

STEP 8

Per avere continuità in x=0x = 0, il limite sinistro e destro devono essere uguali.
Abbiamo visto che il limite sinistro è 0.
Perciò, dobbiamo avere b>0b > 0 oppure b=0b = 0 e a>−10a > -10.

STEP 9

Combinando le condizioni di continuità in x=−1x = -1 e x=0x = 0, otteniamo il seguente sistema: a−b=1a - b = 1 b>0oppureb=0 e a>−10.b > 0 \quad \text{oppure} \quad b = 0 \text{ e } a > -10.

STEP 10

La funzione f(x)f(x) è continua su tutto R\mathbb{R} se b>0b > 0 e a=1+ba = 1 + b, oppure se b=0b = 0 e a=1>−10a = 1 > -10.

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