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QuestionAdrian, un niño de 10 años, necesita espirometría. ¿Qué volumen maximiza su velocidad de espiración? Redondea a 2 decimales.

Studdy Solution

STEP 1

Suposiciones1. La función de volumen de aire espirado V(t)V(t) en litros en función del tiempo tt de espiración en segundos está dada por V(t)=−3,5−t+1+3,5V(t)=-3,5^{-t+1}+3,5. . La función de velocidad de espiración (x)(x) en litros por segundo en función al volumen de aire espirado xx en litros se modela por (x)={−13x(x−1.5)0≤x<1.25−169x+5691.25≤x≤3.5(x)=\left\{\begin{array}{cc}-13 x(x-1.5) &0 \leq x<1.25 \\ -\frac{16}{9} x+\frac{56}{9} &1.25 \leq x \leq3.5\end{array}\right..

STEP 2

Para encontrar el volumen que hace que la velocidad de espiración llegue a su valor máximo, necesitamos encontrar el valor máximo de la función (x)(x). Esto se puede hacer encontrando los puntos críticos de la función, que son los puntos donde la derivada de la función es cero o no existe.

STEP 3

Primero, vamos a encontrar los puntos críticos de la primera parte de la función (x)(x), que es −13x(x−1.5)-13x(x-1.5).
La derivada de −13x(x−1.5)-13x(x-1.5) es −13(2x−1.5)-13(2x-1.5).

STEP 4

Ahora, establecemos la derivada igual a cero y resolvemos para xx.
−13(2x−1.)=0-13(2x-1.) =0

STEP 5

Resolvemos para xx.
2x−1.5=02x-1.5 =02x=1.52x =1.5x=1.52=0.75x = \frac{1.5}{2} =0.75

STEP 6

Ahora, vamos a encontrar los puntos críticos de la segunda parte de la función (x)(x), que es −169x+569-\frac{16}{9}x+\frac{56}{9}.
La derivada de −169x+569-\frac{16}{9}x+\frac{56}{9} es −169-\frac{16}{9}.

STEP 7

La derivada de una constante es cero, por lo que no hay puntos críticos en la segunda parte de la función.

STEP 8

Ahora, evaluamos la función (x)(x) en los puntos críticos y en los extremos del intervalo de definición para encontrar el valor máximo.
Para x=0x=0, (x)=−13(0)(0−1.5)=0(x)=-13(0)(0-1.5)=0.
Para x=0.75x=0.75, (x)=−13(0.75)(0.75−1.5)(x)=-13(0.75)(0.75-1.5).
Para x=1.25x=1.25, (x)=−16(1.25)+56(x)=-\frac{16}{}(1.25)+\frac{56}{}.
Para x=3.5x=3.5, (x)=−16(3.5)+56(x)=-\frac{16}{}(3.5)+\frac{56}{}.

STEP 9

Calculamos los valores.
Para x=.75x=.75, (x)=−13(.75)(−.75)=7.3125(x)=-13(.75)(-.75)=7.3125.
Para x=.25x=.25, (x)=−169(.25)+569=5.2222(x)=-\frac{16}{9}(.25)+\frac{56}{9}=5.2222.
Para x=3.5x=3.5, (x)=−169(3.5)+569=−2(x)=-\frac{16}{9}(3.5)+\frac{56}{9}=-2.

STEP 10

Por lo tanto, el volumen que hace que la velocidad de espiración llegue a su valor máximo es 0.750.75 litros y el valor máximo de la velocidad de espiración es 7.317.31 litros por segundo (redondeado a dos decimales).

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