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Math  /  Calculus

QuestionÉtudiez la convergence (absolue ou conditionnelle) de la série alternée : ∑n=1∞(−1)n(n7n2+3)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{n}{7 n^{2}+3}\right)

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous devons déterminer si la série converge absolument ou conditionnellement.
2. Une série converge absolument si la série des valeurs absolues converge.
3. Une série converge conditionnellement si elle converge mais la série des valeurs absolues diverge.
4. Le test de convergence des séries alternées peut être utilisé pour déterminer la convergence conditionnelle.

STEP 2

1. Vérifier la convergence absolue.
2. Vérifier la convergence conditionnelle avec le test des séries alternées.

STEP 3

Pour vérifier la convergence absolue, nous considérons la série des valeurs absolues :
∑n=1∞∣n7n2+3∣=∑n=1∞n7n2+3 \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{n}{7n^2 + 3}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{7n^2 + 3}
Nous devons déterminer si cette série converge.

STEP 4

Comparer la série ∑n=1∞n7n2+3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{7n^2 + 3} avec une série connue. Observons que :
n7n2+3≈17npourn→∞ \frac{n}{7n^2 + 3} \approx \frac{1}{7n} \quad \text{pour} \quad n \to \infty
La série ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} est une série harmonique qui diverge.

STEP 5

Utiliser le test de comparaison limite. Calculons la limite :
lim⁡n→∞n7n2+31n=lim⁡n→∞n27n2+3=17 \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{7n^2 + 3}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{7n^2 + 3} = \frac{1}{7}
Puisque cette limite est une constante positive, par le test de comparaison limite, la série ∑n=1∞n7n2+3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{7n^2 + 3} diverge.

STEP 6

Puisque la série des valeurs absolues diverge, nous vérifions la convergence conditionnelle avec le test des séries alternées.
La série originale est :
∑n=1∞(−1)n(n7n2+3) \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{n}{7n^2 + 3}\right)

STEP 7

Vérifier les conditions du test des séries alternées :
1. an=n7n2+3 a_n = \frac{n}{7n^2 + 3} est positif pour tout n n .
2. an a_n décroît : an+1<an a_{n+1} < a_n pour n n suffisamment grand.
3. lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0.

STEP 8

Vérifier que an a_n décroît :
an=n7n2+3etan+1=n+17(n+1)2+3 a_n = \frac{n}{7n^2 + 3} \quad \text{et} \quad a_{n+1} = \frac{n+1}{7(n+1)^2 + 3}
Comparer an+1 a_{n+1} et an a_n :
n+17(n+1)2+3<n7n2+3 \frac{n+1}{7(n+1)^2 + 3} < \frac{n}{7n^2 + 3}
Cela est vrai pour n n suffisamment grand.

STEP 9

Vérifier que lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0 :
lim⁡n→∞n7n2+3=lim⁡n→∞17n+3n=0 \lim_{n \to \infty} \frac{n}{7n^2 + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7n + \frac{3}{n}} = 0
Toutes les conditions du test des séries alternées sont satisfaites.
La série converge conditionnellement.

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