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Math  /  Calculus

QuestionEvaluate the integral: ∫−11(1−x2+x11)dx\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}+x^{11}\right) d x 5 7/47 / 4 4/7 3/43 / 4 4/34 / 3

Studdy Solution

STEP 1

1. 我们需要计算定积分 ∫−11(1−x2+x11)dx\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}+x^{11}\right) dx。
2. 被积函数是多项式函数，因此可以逐项积分。
3. 使用基本积分公式和对称性来简化计算。

STEP 2

1. 逐项积分。
2. 应用对称性。
3. 计算积分值。

STEP 3

首先，将积分分解为各项的积分：
∫−11(1−x2+x11)dx=∫−111 dx−∫−11x2 dx+∫−11x11 dx\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}+x^{11}\right) dx = \int_{-1}^{1} 1 \, dx - \int_{-1}^{1} x^{2} \, dx + \int_{-1}^{1} x^{11} \, dx

STEP 4

由于 x2x^2 和 x11x^{11} 是偶函数和奇函数，利用对称性：
1. ∫−111 dx\int_{-1}^{1} 1 \, dx 是常数函数的积分。
2. ∫−11x2 dx\int_{-1}^{1} x^{2} \, dx 是偶函数的积分。
3. ∫−11x11 dx\int_{-1}^{1} x^{11} \, dx 是奇函数的积分，结果为零。

STEP 5

计算每个积分：
1. ∫−111 dx=[x]−11=1−(−1)=2\int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2
2. ∫−11x2 dx=[x33]−11=133−(−1)33=13−(−13)=23\int_{-1}^{1} x^{2} \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}
3. ∫−11x11 dx=0\int_{-1}^{1} x^{11} \, dx = 0 （因为 x11x^{11} 是奇函数）

STEP 6

将结果相加：
∫−11(1−x2+x11)dx=2−23+0=63−23=43\int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}+x^{11}\right) dx = 2 - \frac{2}{3} + 0 = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
积分的值为：
43\boxed{\frac{4}{3}}

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