Math / Calculus

QuestionÉvaluer les intégrales suivantes. a) $\int\left(\frac{5 x^{7}-4 x^{3}+8}{x^{2}}\right) d x$ b) $\int(\sec x-\tan x \sin x) d x$

Studdy Solution

STEP 1

1. Les intégrales sont définies sur un intervalle où les fonctions sont continues.
2. Les intégrales peuvent être résolues en utilisant des techniques d'intégration standards telles que la simplification algébrique et l'intégration par parties.

STEP 2

1. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale a).
2. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale a).
3. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale b).
4. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale b).

STEP 3

Pour l'intégrale a), commencez par simplifier l'intégrande en divisant chaque terme du numérateur par le dénominateur $x^2$ :
$\int\left(\frac{5x^7}{x^2} - \frac{4x^3}{x^2} + \frac{8}{x^2}\right) dx$
$= \int\left(5x^5 - 4x + 8x^{-2}\right) dx$

STEP 4

Intégrez chaque terme séparément:
$\int 5x^5 \, dx = \frac{5}{6}x^6 + C_1$
$\int -4x \, dx = -2x^2 + C_2$
$\int 8x^{-2} \, dx = -8x^{-1} + C_3$
Combinez les résultats:
$\int\left(5x^5 - 4x + 8x^{-2}\right) dx = \frac{5}{6}x^6 - 2x^2 - 8x^{-1} + C$

STEP 5

Pour l'intégrale b), simplifiez l'intégrande. Notez que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , donc:
$\int(\sec x - \tan x \sin x) \, dx = \int(\sec x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}) \, dx$
$= \int(\sec x - \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}) \, dx$
$= \int(\sec x - \sec x + \cos x) \, dx$
$= \int \cos x \, dx$

STEP 6

Intégrez le terme simplifié:
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
Les solutions des intégrales sont:
a) $\frac{5}{6}x^6 - 2x^2 - 8x^{-1} + C$
b) $\sin x + C$

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QuestionÉvaluer les intégrales suivantes. a) $\int\left(\frac{5 x^{7}-4 x^{3}+8}{x^{2}}\right) d x$ b) $\int(\sec x-\tan x \sin x) d x$

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STEP 1

1. Les intégrales sont définies sur un intervalle où les fonctions sont continues.
2. Les intégrales peuvent être résolues en utilisant des techniques d'intégration standards telles que la simplification algébrique et l'intégration par parties.

STEP 2

1. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale a).
2. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale a).
3. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale b).
4. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale b).

STEP 3

Pour l'intégrale a), commencez par simplifier l'intégrande en divisant chaque terme du numérateur par le dénominateur $x^2$ :
$\int\left(\frac{5x^7}{x^2} - \frac{4x^3}{x^2} + \frac{8}{x^2}\right) dx$
$= \int\left(5x^5 - 4x + 8x^{-2}\right) dx$

STEP 4

Intégrez chaque terme séparément:
$\int 5x^5 \, dx = \frac{5}{6}x^6 + C_1$
$\int -4x \, dx = -2x^2 + C_2$
$\int 8x^{-2} \, dx = -8x^{-1} + C_3$
Combinez les résultats:
$\int\left(5x^5 - 4x + 8x^{-2}\right) dx = \frac{5}{6}x^6 - 2x^2 - 8x^{-1} + C$

STEP 5

Pour l'intégrale b), simplifiez l'intégrande. Notez que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , donc:
$\int(\sec x - \tan x \sin x) \, dx = \int(\sec x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}) \, dx$
$= \int(\sec x - \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}) \, dx$
$= \int(\sec x - \sec x + \cos x) \, dx$
$= \int \cos x \, dx$

STEP 6

Intégrez le terme simplifié:
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
Les solutions des intégrales sont:
a) $\frac{5}{6}x^6 - 2x^2 - 8x^{-1} + C$
b) $\sin x + C$

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QuestionÉvaluer les intégrales suivantes. a) ∫(5x7−4x3+8x2)dx\int\left(\frac{5 x^{7}-4 x^{3}+8}{x^{2}}\right) d x∫(x25x7−4x3+8​)dx b) ∫(sec⁡x−tan⁡xsin⁡x)dx\int(\sec x-\tan x \sin x) d x∫(secx−tanxsinx)dx

Studdy Solution

STEP 1

1. Les intégrales sont définies sur un intervalle où les fonctions sont continues.2. Les intégrales peuvent être résolues en utilisant des techniques d'intégration standards telles que la simplification algébrique et l'intégration par parties.

STEP 2

1. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale a).2. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale a).3. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale b).4. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale b).

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

Intégrez le terme simplifié:∫cos⁡x dx=sin⁡x+C \int \cos x \, dx = \sin x + C ∫cosxdx=sinx+C Les solutions des intégrales sont:a) 56x6−2x2−8x−1+C\frac{5}{6}x^6 - 2x^2 - 8x^{-1} + C65​x6−2x2−8x−1+Cb) sin⁡x+C\sin x + Csinx+C

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QuestionÉvaluer les intégrales suivantes. a) $\int\left(\frac{5 x^{7}-4 x^{3}+8}{x^{2}}\right) d x$ b) $\int(\sec x-\tan x \sin x) d x$

1. Les intégrales sont définies sur un intervalle où les fonctions sont continues.
2. Les intégrales peuvent être résolues en utilisant des techniques d'intégration standards telles que la simplification algébrique et l'intégration par parties.

1. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale a).
2. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale a).
3. Simplification de l'intégrande pour l'intégrale b).
4. Intégration de chaque terme simplifié pour l'intégrale b).

Intégrez le terme simplifié:
$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
Les solutions des intégrales sont:
a) $\frac{5}{6}x^6 - 2x^2 - 8x^{-1} + C$
b) $\sin x + C$