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QuestionExample 4.16 Sketch the graph of each of the following functi Hence, state its domain and range. (a) f(x)=3x+1f(x)=3^{x+1}. (b) f(x)=3x−1f(x)=3^{x}-1. (c) f(x)=3x+1f(x)=3^{x}+1 (d) f(x)=3xf(x)=3^{x}. (e) f(x)=(14)x+1f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} (f) f(x)=(14)x−1f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-1 (g) f(x)=−(14)x+1f(x)=-\left(\frac{1}{4}\right)^{x}+1 (h) f(x)=−(14)x+1f(x)=-\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1}

Studdy Solution

STEP 1

1. 函数 f(x)f(x) 的图形可以通过了解其基本形式 3x3^x 和 (14)x\left(\frac{1}{4}\right)^x 的图形进行变换得到。
2. 我们需要理解指数函数的特性，如 axa^x 的增长或衰减情况。
3. 每个函数的定义域和值域需要根据其形式来分析。

STEP 2

1. 绘制 f(x)=3xf(x)=3^{x} 的图形并分析其定义域和值域。
2. 在 f(x)=3xf(x)=3^{x} 的基础上进行变换以绘制其他函数的图形，并分析其定义域和值域。

STEP 3

绘制 f(x)=3xf(x)=3^{x} 的图形。
图形为一个指数增长函数，过点(0,1)，并且随着 x 增大而快速上升。 \text{图形为一个指数增长函数，过点}(0, 1)\text{，并且随着 } x \text{ 增大而快速上升。}

STEP 4

分析 f(x)=3xf(x)=3^{x} 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(0,∞) \text{值域：} (0, \infty)

STEP 5

绘制 f(x)=3x+1f(x)=3^{x+1} 的图形。
图形是 f(x)=3x 向左平移 1 个单位。 \text{图形是 } f(x)=3^{x} \text{ 向左平移 1 个单位。}

STEP 6

分析 f(x)=3x+1f(x)=3^{x+1} 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(0,∞) \text{值域：} (0, \infty)

STEP 7

绘制 f(x)=3x−1f(x)=3^{x}-1 的图形。
图形是 f(x)=3x 向下平移 1 个单位。 \text{图形是 } f(x)=3^{x} \text{ 向下平移 1 个单位。}

STEP 8

分析 f(x)=3x−1f(x)=3^{x}-1 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(−1,∞) \text{值域：} (-1, \infty)

STEP 9

绘制 f(x)=3x+1f(x)=3^{x}+1 的图形。
图形是 f(x)=3x 向上平移 1 个单位。 \text{图形是 } f(x)=3^{x} \text{ 向上平移 1 个单位。}

STEP 10

分析 f(x)=3x+1f(x)=3^{x}+1 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(1,∞) \text{值域：} (1, \infty)

STEP 11

绘制 f(x)=3xf(x)=3^{x} 的图形。
\text{图形与 Step_1 相同。}

STEP 12

分析 f(x)=3xf(x)=3^{x} 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(0,∞) \text{值域：} (0, \infty)

STEP 13

绘制 f(x)=(14)x+1f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} 的图形。
图形是 f(x)=(14)x 向左平移 1 个单位。 \text{图形是 } f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x \text{ 向左平移 1 个单位。}

STEP 14

分析 f(x)=(14)x+1f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(0,∞) \text{值域：} (0, \infty)

STEP 15

绘制 f(x)=(14)x−1f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x-1 的图形。
图形是 f(x)=(14)x 向下平移 1 个单位。 \text{图形是 } f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x \text{ 向下平移 1 个单位。}

STEP 16

分析 f(x)=(14)x−1f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x-1 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(−1,∞) \text{值域：} (-1, \infty)

STEP 17

绘制 f(x)=−(14)x+1f(x)=-\left(\frac{1}{4}\right)^x+1 的图形。
图形是 f(x)=(14)x 先关于 x 轴对称，然后向上平移 1 个单位。 \text{图形是 } f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x \text{ 先关于 x 轴对称，然后向上平移 1 个单位。}

STEP 18

分析 f(x)=−(14)x+1f(x)=-\left(\frac{1}{4}\right)^x+1 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(−∞,1) \text{值域：} (-\infty, 1)

STEP 19

绘制 f(x)=−(14)x+1f(x)=-\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} 的图形。
图形是 f(x)=(14)x 先向左平移 1 个单位，然后关于 x 轴对称。 \text{图形是 } f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x \text{ 先向左平移 1 个单位，然后关于 x 轴对称。}

STEP 20

分析 f(x)=−(14)x+1f(x)=-\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} 的定义域和值域。
定义域：(−∞,∞) \text{定义域：} (-\infty, \infty) 值域：(−∞,0) \text{值域：} (-\infty, 0)

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