Math  /  Geometry

QuestionExercice 01 : Detx points AA et BB, ont pour coordonnées cartésiennes dans l'espace : A(2,3,3),B(5,7,2)A(2,3,-3), B(5,7,2) Déterminer les composantes du vecteur ABundefined\overrightarrow{A B} ainsi que son module, sa direction et son sens.

Studdy Solution

STEP 1

1. Les coordonnées des points A et B sont données dans un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel.
2. Le vecteur ABundefined\overrightarrow{AB} est défini comme allant du point A au point B.
3. Nous utilisons la notation standard pour les vecteurs et les coordonnées.

STEP 2

1. Calculer les composantes du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB}.
2. Calculer le module du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB}.
3. Déterminer la direction du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB}.
4. Préciser le sens du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB}.

STEP 3

Calculons les composantes du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB} en soustrayant les coordonnées de A de celles de B :
ABundefined=BA=(xBxA,yByA,zBzA) \overrightarrow{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) =(52,73,2(3)) = (5-2, 7-3, 2-(-3)) =(3,4,5) = (3, 4, 5)
Donc, ABundefined=(3,4,5)\overrightarrow{AB} = (3, 4, 5)

STEP 4

Calculons le module du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB} en utilisant la formule de la norme euclidienne :
ABundefined=x2+y2+z2 \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} =32+42+52 = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} =9+16+25 = \sqrt{9 + 16 + 25} =50 = \sqrt{50} =52 = 5\sqrt{2}

STEP 5

La direction du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB} est donnée par le vecteur unitaire dans la même direction. Pour obtenir ce vecteur unitaire, nous divisons chaque composante par le module :
Direction=ABundefinedABundefined=(352,452,552) \text{Direction} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|} = \left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}\right)
=(352,452,12) = \left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

STEP 6

Le sens du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB} est de A vers B. Toutes les composantes du vecteur sont positives, ce qui signifie que le vecteur pointe dans le sens positif des trois axes x, y et z.
En résumé : - Composantes du vecteur ABundefined\overrightarrow{AB} : (3,4,5)(3, 4, 5) - Module : 525\sqrt{2} - Direction : (352,452,12)\left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) - Sens : de A vers B, dans le sens positif des trois axes

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