QuestionExercice 1: Calculer le domaine de définition des fonctions définies par: 1) $$\begin{array}{l} \left.f(x)=\frac{x^{2}+3}{1-|x|}, 2\right) g(x)=\sqrt{\frac{x-3}{x+5}} \\ \left.k(x)=\frac{1}{1+\sin 2 x^{2}} 5\right) \ln \frac{\left(x^{2}+3 x+2\right)}{\left(x^{2}+3 x-4\right)} \end{array}$$ 3) $h(x)=\frac{\sin n x}{\cos n x}, n \in N^{*}$ 4)

STEP 1

STEP 2

تحديد مجال الدالة $f(x) = \frac{x^2 + 3}{1 - |x|}$:
يجب أن يكون المقام غير صفري: $$1 - |x| \neq 0$$ $$|x| \neq 1$$
هذا يعني أن $x \neq 1$ و $x \neq -1$.

STEP 3

تحديد مجال الدالة $g(x) = \sqrt{\frac{x-3}{x+5}}$:
يجب أن يكون التعبير داخل الجذر غير سالب: $$\frac{x-3}{x+5} \geq 0$$
يجب أن نحلل متى تكون الكسر موجب أو صفر.

STEP 4

حل المتباينة $\frac{x-3}{x+5} \geq 0$:
- $x - 3 \geq 0$ يعطي $x \geq 3$ - $x + 5 > 0$ يعطي $x > -5$
نحلل الفترات: - الفترة $x \geq 3$ و $x > -5$ تتقاطع في $x \geq 3$

STEP 5

تحديد مجال الدالة $k(x) = \frac{1}{1+\sin 2 x^2}$:
يجب أن يكون المقام غير صفري: $$1 + \sin 2x^2 \neq 0$$
نحلل متى تكون $\sin 2x^2 = -1$.

STEP 6

حل المعادلة $\sin 2x^2 = -1$:
نستخدم خاصية الدوال المثلثية: $$2x^2 = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{حيث } k \in \mathbb{Z}$$
نحلل القيم الممكنة لـ $x$.

STEP 7

تحديد مجال الدالة $\ln \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 3x - 4}$:
يجب أن يكون التعبير داخل اللوغاريتم موجبًا: $$\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 3x - 4} > 0$$
نحلل متى تكون الكسر موجب.

STEP 8

حل المتباينة $\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 3x - 4} > 0$:
نحلل الجذور: - $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$ - $x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$
نحدد الفترات التي يكون فيها الكسر موجب.

STEP 9

تحديد مجال الدالة $h(x) = \frac{\sin nx}{\cos nx}, n \in \mathbb{N}^*$:
يجب أن يكون المقام غير صفري: $$\cos nx \neq 0$$
نحلل متى تكون $\cos nx = 0$.

STEP 10

حل المعادلة $\cos nx = 0$:
نستخدم خاصية الدوال المثلثية: $$nx = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{حيث } k \in \mathbb{Z}$$
نحلل القيم الممكنة لـ $x$.