Math / Geometry

QuestionEXERCICE 1: le plan est rapporté a un repère orthonormé (o;i;j).
1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par le point $A(2 ;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; 1)$ .
2. Donner une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par le point $B(-1 ; 1)$ et de vecteur directeur $\bar{v}(1 ; 3)$ .
3. Soit $\left(D^{\prime}\right)$ la droite définie par sa représentation paramétrique $\left(D^{\prime}\right):\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=2+2 t\end{array},(t \in \mathbb{R})\right.$ , et ( $\left.\Delta^{\prime}\right)$ la droite définie par l'équation cartésienne $\left(\Delta^{\prime}\right): x-y-3=0$ . a- le point $E(1 ; 4)$ est-il un point de la droite $\left(D^{\prime}\right)$ ? b-monter que $\left(D^{\prime}\right)$ et ( $\left.\Delta^{\prime}\right)$ sont sécantes. c-déterminer les coordonnées du point I, point d'intersection de ( $D^{\prime}$ ) et ( $\Delta^{\prime}$ ).
4. a-déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(D_{1}\right)$ qui passe par le point $A^{\prime}(2 ; 3)$ et parallèle à la droite ( $\Delta^{\prime}$ ). b-déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(\Delta_{1}\right)$ qui passe par le point $A^{\prime}(2 ; 3)$ et parallèle à l'axe des abscisses.
5. Construire dans le repère $(0, \vec{i}, \vec{j})$ les droites $\left(D^{\prime}\right),\left(\Delta^{\prime}\right)$ et $\left(\Delta_{1}\right)$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. Les droites sont définies dans un plan avec un repère orthonormé.
2. Les vecteurs directeurs et les points donnés sont utilisés pour définir les droites.

STEP 2

1. Représentation paramétrique de la droite (D).
2. Équation cartésienne de la droite (\Delta).
3. Vérification du point sur la droite (D').
4. Intersection des droites (D') et (\Delta').
5. Équations cartésiennes des droites parallèles.
6. Construction graphique des droites.

STEP 3

Donner une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point $A(2, -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2, 1)$ .
La représentation paramétrique est donnée par :
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 + t \end{cases}$
où $t \in \mathbb{R}$ .

STEP 4

Donner une équation cartésienne de la droite (\Delta) passant par le point $B(-1, 1)$ et de vecteur directeur $\bar{v}(1, 3)$ .
L'équation cartésienne est obtenue en utilisant le produit vectoriel :
$(y - 1) = 3(x + 1)$
$y - 1 = 3x + 3$
$y = 3x + 4$

STEP 5

a. Vérifier si le point $E(1, 4)$ est sur la droite $(D')$ .
Substituer $x = 1$ et $y = 4$ dans la représentation paramétrique de $(D')$ :
$\begin{cases} 1 = 2 - t \\ 4 = 2 + 2t \end{cases}$
Résoudre les équations :
De la première : $t = 1$
De la seconde : $4 = 2 + 2 \times 1$ , ce qui est vrai.
Donc, le point $E(1, 4)$ est sur la droite $(D')$ .

STEP 6

b. Montrer que $(D')$ et $(\Delta')$ sont sécantes.
L'équation cartésienne de $(\Delta')$ est $x - y - 3 = 0$ .
Substituer la représentation paramétrique de $(D')$ dans l'équation de $(\Delta')$ :
$(2 - t) - (2 + 2t) - 3 = 0$
$-3t - 3 = 0$
$t = -1$
Les droites sont sécantes.

STEP 7

c. Déterminer les coordonnées du point $I$ , point d'intersection de $(D')$ et $(\Delta')$ .
Substituer $t = -1$ dans la représentation paramétrique de $(D')$ :
$\begin{cases} x = 2 - (-1) = 3 \\ y = 2 + 2(-1) = 0 \end{cases}$
Les coordonnées du point $I$ sont $(3, 0)$ .

STEP 8

a. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D_1)$ passant par le point $A'(2, 3)$ et parallèle à la droite $(\Delta')$ .
La pente de $(\Delta')$ est 1, donc l'équation de $(D_1)$ est :
$y - 3 = 1(x - 2)$
$y = x + 1$

STEP 9

b. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta_1)$ passant par le point $A'(2, 3)$ et parallèle à l'axe des abscisses.
La droite parallèle à l'axe des abscisses a une pente de 0, donc l'équation est :
$y = 3$

STEP 10

Construire dans le repère $(0, \vec{i}, \vec{j})$ les droites $(D'), (\Delta'), (\Delta_1)$ .
1. Tracer la droite $(D')$ avec la représentation paramétrique donnée.
2. Tracer la droite $(\Delta')$ avec l'équation $x - y - 3 = 0$ .
3. Tracer la droite $(\Delta_1)$ avec l'équation $y = 3$ .

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STEP 1

1. Les droites sont définies dans un plan avec un repère orthonormé.
2. Les vecteurs directeurs et les points donnés sont utilisés pour définir les droites.

STEP 2

1. Représentation paramétrique de la droite (D).
2. Équation cartésienne de la droite (\Delta).
3. Vérification du point sur la droite (D').
4. Intersection des droites (D') et (\Delta').
5. Équations cartésiennes des droites parallèles.
6. Construction graphique des droites.

STEP 3

Donner une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point $A(2, -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2, 1)$ .
La représentation paramétrique est donnée par :
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -1 + t \end{cases}$
où $t \in \mathbb{R}$ .

STEP 4

Donner une équation cartésienne de la droite (\Delta) passant par le point $B(-1, 1)$ et de vecteur directeur $\bar{v}(1, 3)$ .
L'équation cartésienne est obtenue en utilisant le produit vectoriel :
$(y - 1) = 3(x + 1)$
$y - 1 = 3x + 3$
$y = 3x + 4$

STEP 5

STEP 6

b. Montrer que $(D')$ et $(\Delta')$ sont sécantes.
L'équation cartésienne de $(\Delta')$ est $x - y - 3 = 0$ .
Substituer la représentation paramétrique de $(D')$ dans l'équation de $(\Delta')$ :
$(2 - t) - (2 + 2t) - 3 = 0$
$-3t - 3 = 0$
$t = -1$
Les droites sont sécantes.

STEP 7

c. Déterminer les coordonnées du point $I$ , point d'intersection de $(D')$ et $(\Delta')$ .
Substituer $t = -1$ dans la représentation paramétrique de $(D')$ :
$\begin{cases} x = 2 - (-1) = 3 \\ y = 2 + 2(-1) = 0 \end{cases}$
Les coordonnées du point $I$ sont $(3, 0)$ .

STEP 8

a. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D_1)$ passant par le point $A'(2, 3)$ et parallèle à la droite $(\Delta')$ .
La pente de $(\Delta')$ est 1, donc l'équation de $(D_1)$ est :
$y - 3 = 1(x - 2)$
$y = x + 1$

STEP 9

b. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta_1)$ passant par le point $A'(2, 3)$ et parallèle à l'axe des abscisses.
La droite parallèle à l'axe des abscisses a une pente de 0, donc l'équation est :
$y = 3$

STEP 10

Construire dans le repère $(0, \vec{i}, \vec{j})$ les droites $(D'), (\Delta'), (\Delta_1)$ .
1. Tracer la droite $(D')$ avec la représentation paramétrique donnée.
2. Tracer la droite $(\Delta')$ avec l'équation $x - y - 3 = 0$ .
3. Tracer la droite $(\Delta_1)$ avec l'équation $y = 3$ .

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STEP 1

1. Les droites sont définies dans un plan avec un repère orthonormé.2. Les vecteurs directeurs et les points donnés sont utilisés pour définir les droites.

STEP 2

1. Représentation paramétrique de la droite (D).2. Équation cartésienne de la droite (\Delta).3. Vérification du point sur la droite (D').4. Intersection des droites (D') et (\Delta').5. Équations cartésiennes des droites parallèles.6. Construction graphique des droites.

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

STEP 8

STEP 9

b. Déterminer une équation cartésienne de la droite (Δ1) (\Delta_1) (Δ1​) passant par le point A′(2,3) A'(2, 3) A′(2,3) et parallèle à l'axe des abscisses.La droite parallèle à l'axe des abscisses a une pente de 0, donc l'équation est :y=3 y = 3 y=3

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1. Les droites sont définies dans un plan avec un repère orthonormé.
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1. Représentation paramétrique de la droite (D).
2. Équation cartésienne de la droite (\Delta).
3. Vérification du point sur la droite (D').
4. Intersection des droites (D') et (\Delta').
5. Équations cartésiennes des droites parallèles.
6. Construction graphique des droites.

b. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta_1)$ passant par le point $A'(2, 3)$ et parallèle à l'axe des abscisses.
La droite parallèle à l'axe des abscisses a une pente de 0, donc l'équation est :
$y = 3$