QuestionMontrer que est un espace vectoriel réel avec et .
Studdy Solution
STEP 1
Hypothèses1. est un ensemble de paires de nombres réels, où le premier élément de la paire est un nombre réel positif non nul et le deuxième élément est un nombre réel. . Les lois $$ et ${ }^{*}$ sont définies comme suit - Pour tout $(x, y) \in$ et tout $(x^{\prime}, y^{\prime}) \in$, $(x, y)\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x x^{\prime}, y+y^{\prime}\right)$ - Pour tout $k \in \mathbb{R}$ et tout $(x, y) \in$, $k *(x, y)=\left(x^{k}, k y\right)$3. Nous devons montrer que $(,, *)$ est un espace vectoriel réel sur $\mathbb{R}$.
STEP 2
Pour montrer que est un espace vectoriel, nous devons vérifier les huit axiomes d'un espace vectoriel. Commençons par vérifier l'axiome de l'addition associatif.
STEP 3
En utilisant la définition de la loi (x,y)[(x',y')(x'',y'')] = (x,y)(x'x'',y'+y'') = (xx'x'',y+y'+y'')[(x,y)(x',y')](x'',y'') = (xx',y+y')(x'',y'') = (xx'x'',y+y'+y'')$$Donc, l'axiome de l'addition associatif est vérifié.
STEP 4
Vérifions maintenant l'axiome de l'élément neutre de l'addition.
Il doit exister un élément tel que pour tout , .
STEP 5
En utilisant la définition de la loi (x,y)(e_{1},e_{2}) = (xe_{1},y+e_{2}) = (x,y)$$Cela implique que $e_{1} =1$ et $e_{2} =0$. Comme $1 \in \mathbb{R}_{+}^{*}$ et $0 \in \mathbb{R}$, nous avons $(e_{1},e_{2}) = (1,0) \in$.
Donc, l'axiome de l'élément neutre de l'addition est vérifié.
STEP 6
Vérifions maintenant l'axiome de l'opposé de l'addition.
Pour tout , il doit exister un élément tel que .
STEP 7
En utilisant la définition de la loi (x,y)(-x,-y) = (x(-x),y+(-y)) = (e_{1},e_{2})$$Cela implique que $x(-x) =1$ et $y+(-y) =0$. Cependant, $x(-x) =1$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}_{+}^{*}$.
Donc, l'axiome de l'opposé de l'addition n'est pas vérifié, et n'est pas un espace vectoriel réel sur .
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