Math / Calculus

QuestionExercice 1: Soit $f$ une fonction numérique de var iablex définie par : $f(x)=\sqrt{x}$ et Soit $\left(C_{f}\right)$ sa courbe sur un repére $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ 1) Donner le domaine de définition dela fonction $f$ . 2) Etudier la parité dela fonction $f$ . 2) a-Calculer $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ . $b$ -Etudier labranche inf inie de $\left(C_{f}\right)$ au voi $\sin$ agede $+\infty$ . 4) a-Etudier la dérivabilité de fà droite de 0 . $b$ -Etudier les var iations dela fonction $f$ . 5) Tracer $\left(C_{f}\right)$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est définie pour les valeurs de $x$ où l'expression sous la racine carrée est non-négative.
2. Nous devons étudier la parité, les limites, la dérivabilité, les variations, et tracer la courbe de $f$ .

STEP 2

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ .
2. Étudier la parité de $f$ .
3. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x \rightarrow +\infty$ et étudier la branche infinie.
4. Étudier la dérivabilité à droite de 0 et les variations de $f$ .
5. Tracer la courbe $\left(C_{f}\right)$ .

STEP 3

Pour déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x}$ , nous devons nous assurer que l'expression sous la racine carrée est non-négative.
Le domaine de définition est donc $x \geq 0$ .

STEP 4

Pour étudier la parité de $f$ , nous devons vérifier si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine de définition.
Cependant, $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas défini pour $x < 0$ , donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

STEP 5

a) Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x \rightarrow +\infty$ :
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
b) La branche infinie de $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ est une branche ascendante.

STEP 6

a) Pour étudier la dérivabilité à droite de 0, nous calculons la dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ :
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
La dérivée à droite en 0 n'existe pas car elle tend vers $+\infty$ .
b) Pour étudier les variations de $f$ , nous observons que $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

STEP 7

Pour tracer $\left(C_{f}\right)$ , nous devons représenter graphiquement la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur le domaine $x \geq 0$ .
La courbe commence à l'origine et monte continuellement, s'aplatissant à mesure que $x$ augmente.

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STEP 1

1. La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est définie pour les valeurs de $x$ où l'expression sous la racine carrée est non-négative.
2. Nous devons étudier la parité, les limites, la dérivabilité, les variations, et tracer la courbe de $f$ .

STEP 2

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ .
2. Étudier la parité de $f$ .
3. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x \rightarrow +\infty$ et étudier la branche infinie.
4. Étudier la dérivabilité à droite de 0 et les variations de $f$ .
5. Tracer la courbe $\left(C_{f}\right)$ .

STEP 3

Pour déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x}$ , nous devons nous assurer que l'expression sous la racine carrée est non-négative.
Le domaine de définition est donc $x \geq 0$ .

STEP 4

Pour étudier la parité de $f$ , nous devons vérifier si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine de définition.
Cependant, $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas défini pour $x < 0$ , donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

STEP 5

a) Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x \rightarrow +\infty$ :
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
b) La branche infinie de $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ est une branche ascendante.

STEP 6

STEP 7

Pour tracer $\left(C_{f}\right)$ , nous devons représenter graphiquement la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur le domaine $x \geq 0$ .
La courbe commence à l'origine et monte continuellement, s'aplatissant à mesure que $x$ augmente.

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STEP 1

1. La fonction f(x)=x f(x) = \sqrt{x} f(x)=x​ est définie pour les valeurs de x x x où l'expression sous la racine carrée est non-négative.2. Nous devons étudier la parité, les limites, la dérivabilité, les variations, et tracer la courbe de f f f.

STEP 2

STEP 3

Pour déterminer le domaine de définition de f(x)=x f(x) = \sqrt{x} f(x)=x​, nous devons nous assurer que l'expression sous la racine carrée est non-négative.Le domaine de définition est donc x≥0 x \geq 0 x≥0.

STEP 4

Pour étudier la parité de f f f, nous devons vérifier si f(−x)=f(x) f(-x) = f(x) f(−x)=f(x) pour tout x x x dans le domaine de définition.Cependant, f(x)=x f(x) = \sqrt{x} f(x)=x​ n'est pas défini pour x<0 x < 0 x<0, donc f f f n'est ni paire ni impaire.

STEP 5

a) Calculons la limite de f(x) f(x) f(x) lorsque x→+∞ x \rightarrow +\infty x→+∞:lim⁡x→+∞x=+∞\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\inftylimx→+∞​x​=+∞b) La branche infinie de (Cf)\left(C_{f}\right)(Cf​) au voisinage de +∞ +\infty +∞ est une branche ascendante.

STEP 6

STEP 7

Pour tracer (Cf)\left(C_{f}\right)(Cf​), nous devons représenter graphiquement la fonction f(x)=x f(x) = \sqrt{x} f(x)=x​ sur le domaine x≥0 x \geq 0 x≥0.La courbe commence à l'origine et monte continuellement, s'aplatissant à mesure que x x x augmente.

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1. La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est définie pour les valeurs de $x$ où l'expression sous la racine carrée est non-négative.
2. Nous devons étudier la parité, les limites, la dérivabilité, les variations, et tracer la courbe de $f$ .

Pour déterminer le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x}$ , nous devons nous assurer que l'expression sous la racine carrée est non-négative.
Le domaine de définition est donc $x \geq 0$ .

Pour étudier la parité de $f$ , nous devons vérifier si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine de définition.
Cependant, $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas défini pour $x < 0$ , donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

a) Calculons la limite de $f(x)$ lorsque $x \rightarrow +\infty$ :
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
b) La branche infinie de $\left(C_{f}\right)$ au voisinage de $+\infty$ est une branche ascendante.

Pour tracer $\left(C_{f}\right)$ , nous devons représenter graphiquement la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur le domaine $x \geq 0$ .
La courbe commence à l'origine et monte continuellement, s'aplatissant à mesure que $x$ augmente.