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Math  /  Algebra

QuestionExercice 1(6pts)
1. Soit ff l'application de l'ensemble {1,2,3,4}\{1,2,3,4\} dans lui-même définie par: {f(1)=3f(2)=0f(3)=1f(4)=4\left\{\begin{array}{l} f(1)=3 \\ f(2)=0 \\ f(3)=1 \\ f(4)=4 \end{array}\right. a) Déterminer f−1(A)f^{-1}(A) lorsque A={2},A={1,4},A={3}A=\{2\}, A=\{1,4\}, A=\{3\}. b) ff est-elle injective ?surjective?bijective?
2. Soit ff l'application de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R} définie par f(x)=x2f(x)=x^{2} a) Déterminer f(A)f(A) lorsque A={2},A={−2}A=\{2\}, A=\{-2\}. Que peut-on conclur? b) Déterminer f−1(A)f^{-1}(A) lorsque A={4},A=[1,4]A=\{4\}, A=[1,4].

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous avons deux fonctions à examiner : une fonction définie sur un ensemble fini et une fonction quadratique définie sur les réels.
2. Pour la première fonction, nous devons déterminer l'image réciproque pour certains ensembles et vérifier si la fonction est injective, surjective ou bijective.
3. Pour la seconde fonction, nous devons déterminer l'image et l'image réciproque pour certains ensembles.

STEP 2

1. Analyser la fonction f f définie sur l'ensemble {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}. - Déterminer f−1(A) f^{-1}(A) pour différents ensembles A A . - Vérifier si f f est injective, surjective ou bijective.
2. Analyser la fonction f(x)=x2 f(x) = x^2 définie sur R\mathbb{R}. - Déterminer f(A) f(A) pour différents ensembles A A . - Déterminer f−1(A) f^{-1}(A) pour différents ensembles A A .

STEP 3

Analyser la fonction f f définie par :
f(1)=3,f(2)=0,f(3)=1,f(4)=4 f(1)=3, \quad f(2)=0, \quad f(3)=1, \quad f(4)=4

STEP 4

a) Déterminer f−1(A) f^{-1}(A) pour A={2} A = \{2\} , A={1,4} A = \{1,4\} , A={3} A = \{3\} .
- Pour A={2} A = \{2\} , il n'y a pas de x x tel que f(x)=2 f(x) = 2 , donc f−1({2})=∅ f^{-1}(\{2\}) = \emptyset . - Pour A={1,4} A = \{1,4\} , nous cherchons les x x tels que f(x)∈{1,4} f(x) \in \{1,4\} . On trouve f(3)=1 f(3) = 1 et f(4)=4 f(4) = 4 , donc f−1({1,4})={3,4} f^{-1}(\{1,4\}) = \{3,4\} . - Pour A={3} A = \{3\} , on cherche les x x tels que f(x)=3 f(x) = 3 . On trouve f(1)=3 f(1) = 3 , donc f−1({3})={1} f^{-1}(\{3\}) = \{1\} .

STEP 5

b) Vérifier si f f est injective, surjective ou bijective.
- f f est injective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au plus un élément de l'ensemble de départ. Ici, f(2)=0 f(2) = 0 n'est pas dans l'ensemble d'arrivée {1,2,3,4}\{1,2,3,4\}, donc f f n'est pas surjective. - f f n'est pas injective car il n'y a pas de deux éléments distincts ayant la même image. - f f n'est pas bijective car elle n'est ni injective ni surjective.

STEP 6

Analyser la fonction f(x)=x2 f(x) = x^2 définie sur R\mathbb{R}.

STEP 7

a) Déterminer f(A) f(A) pour A={2} A = \{2\} , A={−2} A = \{-2\} .
- Pour A={2} A = \{2\} , f(2)=22=4 f(2) = 2^2 = 4 , donc f({2})={4} f(\{2\}) = \{4\} . - Pour A={−2} A = \{-2\} , f(−2)=(−2)2=4 f(-2) = (-2)^2 = 4 , donc f({−2})={4} f(\{-2\}) = \{4\} .
Conclusion : Pour A={2} A = \{2\} et A={−2} A = \{-2\} , f(A)={4} f(A) = \{4\} . Cela montre que la fonction f(x)=x2 f(x) = x^2 n'est pas injective car deux éléments distincts ont la même image.

STEP 8

b) Déterminer f−1(A) f^{-1}(A) pour A={4} A = \{4\} , A=[1,4] A = [1,4] .
- Pour A={4} A = \{4\} , nous cherchons les x x tels que x2=4 x^2 = 4 . Les solutions sont x=2 x = 2 et x=−2 x = -2 , donc f−1({4})={−2,2} f^{-1}(\{4\}) = \{-2, 2\} . - Pour A=[1,4] A = [1,4] , nous cherchons les x x tels que 1≤x2≤4 1 \leq x^2 \leq 4 . Les solutions sont −2≤x≤−1 -2 \leq x \leq -1 ou 1≤x≤2 1 \leq x \leq 2 , donc f−1([1,4])=[−2,−1]∪[1,2] f^{-1}([1,4]) = [-2,-1] \cup [1,2] .
La solution est complète.

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