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STEP 1

1. La suite $(u_n)$ est définie par récurrence avec $u_0 = 4$.
2. La relation de récurrence est $u_{n+1} = 0,95u_n + 0,5$.
3. Nous devons exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite.

STEP 2

1. Identifier le type de suite.
2. Trouver l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Déterminer la limite de la suite.

STEP 3

Identifier le type de suite.
La suite $(u_n)$ est une suite récurrente linéaire du premier ordre. Elle est de la forme $u_{n+1} = au_n + b$, où ici $a = 0,95$ et $b = 0,5$.

STEP 4

Trouver l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$, nous devons utiliser la formule de la suite géométrique et la méthode de résolution des suites récurrentes linéaires du premier ordre. La solution générale est de la forme :
$$u_n = A \cdot a^n + L$$ où $L$ est la limite de la suite si elle existe. Pour une suite de la forme $u_{n+1} = au_n + b$, la limite $L$ est donnée par :
$$L = \frac{b}{1-a}$$ Calculons $L$ :
$$L = \frac{0,5}{1-0,95} = \frac{0,5}{0,05} = 10$$

STEP 5

Déterminer la constante $A$ en utilisant la condition initiale $u_0 = 4$.
$$u_0 = A \cdot a^0 + L = A + 10 = 4$$ $$A = 4 - 10 = -6$$ Donc, l'expression de $u_n$ est :
$$u_n = -6 \cdot (0,95)^n + 10$$

Déterminer la limite de la suite.
La limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini est $L$, car le terme $-6 \cdot (0,95)^n$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini (puisque $0 < 0,95 < 1$).
Donc, la limite de la suite est :
$$\lim_{n \to \infty} u_n = 10$$ La limite de la suite est $\boxed{10}$.