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Math  /  Algebra

QuestionExercice2 Soit ( unu_{n} ) la suite définie par u0=4u_{0}=4 et un+1=0,95un+0,5u_{n+1}=0,95 u_{n}+0,5
1. Exprimer unu_{n} en fonction den
2. En déduire sa limfie.
Exercige 3

Studdy Solution

STEP 1

1. La suite (un)(u_n) est définie par récurrence avec u0=4u_0 = 4.
2. La relation de récurrence est un+1=0,95un+0,5u_{n+1} = 0,95u_n + 0,5.
3. Nous devons exprimer unu_n en fonction de nn et déterminer la limite de la suite.

STEP 2

1. Identifier le type de suite.
2. Trouver l'expression de unu_n en fonction de nn.
3. Déterminer la limite de la suite.

STEP 3

Identifier le type de suite.
La suite (un)(u_n) est une suite récurrente linéaire du premier ordre. Elle est de la forme un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b, où ici a=0,95a = 0,95 et b=0,5b = 0,5.

STEP 4

Trouver l'expression de unu_n en fonction de nn.
Pour exprimer unu_n en fonction de nn, nous devons utiliser la formule de la suite géométrique et la méthode de résolution des suites récurrentes linéaires du premier ordre. La solution générale est de la forme :
un=A⋅an+L u_n = A \cdot a^n + L
où LL est la limite de la suite si elle existe. Pour une suite de la forme un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b, la limite LL est donnée par :
L=b1−a L = \frac{b}{1-a}
Calculons LL :
L=0,51−0,95=0,50,05=10 L = \frac{0,5}{1-0,95} = \frac{0,5}{0,05} = 10

STEP 5

Déterminer la constante AA en utilisant la condition initiale u0=4u_0 = 4.
u0=A⋅a0+L=A+10=4 u_0 = A \cdot a^0 + L = A + 10 = 4
A=4−10=−6 A = 4 - 10 = -6
Donc, l'expression de unu_n est :
un=−6⋅(0,95)n+10 u_n = -6 \cdot (0,95)^n + 10

STEP 6

Déterminer la limite de la suite.
La limite de la suite (un)(u_n) lorsque nn tend vers l'infini est LL, car le terme −6⋅(0,95)n-6 \cdot (0,95)^n tend vers 0 lorsque nn tend vers l'infini (puisque 0<0,95<10 < 0,95 < 1).
Donc, la limite de la suite est :
lim⁡n→∞un=10 \lim_{n \to \infty} u_n = 10
La limite de la suite est 10\boxed{10}.

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