Math / Calculus

QuestionExercice 4 Simplifier l'expression $\frac{2 \cosh ^{2}(x)-\sinh (2 x)}{x-\ln (\cosh x)-\ln 2}$ et donner ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. نحن بحاجة إلى تبسيط التعبير المعطى.
2. نحتاج إلى إيجاد حدود التعبير عند $x \to -\infty$ و $x \to +\infty$ .
3. نستخدم خصائص الدوال الزائدية واللوغاريتمات لتبسيط التعبير.

STEP 2

1. تبسيط البسط باستخدام خصائص الدوال الزائدية.
2. تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات.
3. حساب الحدود عند $x \to -\infty$ و $x \to +\infty$ .

STEP 3

استخدم هوية الدوال الزائدية لتبسيط البسط. نعلم أن:
$\sinh(2x) = 2 \sinh(x) \cosh(x)$
وبالتالي، يمكننا كتابة البسط كالتالي:
$2 \cosh^2(x) - \sinh(2x) = 2 \cosh^2(x) - 2 \sinh(x) \cosh(x)$

STEP 4

استخدم هوية الدوال الزائدية الأخرى:
$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
لإعادة كتابة البسط:
$2 (\cosh^2(x) - \sinh(x) \cosh(x)) = 2 (\cosh(x) - \sinh(x)) \cosh(x)$

STEP 5

تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
$x - \ln(\cosh(x)) - \ln(2) = x - \ln(2\cosh(x))$

STEP 6

حساب الحدود عند $x \to +\infty$ :
عندما $x \to +\infty$ ، $\cosh(x) \approx \frac{e^x}{2}$ و $\sinh(x) \approx \frac{e^x}{2}$ ، لذا:
$\cosh(x) - \sinh(x) \approx \frac{e^x}{2} - \frac{e^x}{2} = 0$
وبالتالي، البسط يقترب من 0 والمقام يقترب من:
$x - \ln(e^x) = x - x = 0$
لذلك، الحد عند $x \to +\infty$ غير معرف.

STEP 7

حساب الحدود عند $x \to -\infty$ :
عندما $x \to -\infty$ ، $\cosh(x) \approx \frac{e^{-x}}{2}$ و $\sinh(x) \approx -\frac{e^{-x}}{2}$ ، لذا:
$\cosh(x) - \sinh(x) \approx \frac{e^{-x}}{2} + \frac{e^{-x}}{2} = e^{-x}$
وبالتالي، البسط يقترب من:
$2 e^{-x}$
والمقام يقترب من:
$x - \ln(e^{-x}) = x + x = 2x$
لذلك، الحد عند $x \to -\infty$ هو:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{2 e^{-x}}{2x} = 0$

Was this helpful?

QuestionExercice 4 Simplifier l'expression $\frac{2 \cosh ^{2}(x)-\sinh (2 x)}{x-\ln (\cosh x)-\ln 2}$ et donner ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ .

Studdy Solution

STEP 1

1. نحن بحاجة إلى تبسيط التعبير المعطى.
2. نحتاج إلى إيجاد حدود التعبير عند $x \to -\infty$ و $x \to +\infty$ .
3. نستخدم خصائص الدوال الزائدية واللوغاريتمات لتبسيط التعبير.

STEP 2

1. تبسيط البسط باستخدام خصائص الدوال الزائدية.
2. تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات.
3. حساب الحدود عند $x \to -\infty$ و $x \to +\infty$ .

STEP 3

استخدم هوية الدوال الزائدية لتبسيط البسط. نعلم أن:
$\sinh(2x) = 2 \sinh(x) \cosh(x)$
وبالتالي، يمكننا كتابة البسط كالتالي:
$2 \cosh^2(x) - \sinh(2x) = 2 \cosh^2(x) - 2 \sinh(x) \cosh(x)$

STEP 4

استخدم هوية الدوال الزائدية الأخرى:
$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
لإعادة كتابة البسط:
$2 (\cosh^2(x) - \sinh(x) \cosh(x)) = 2 (\cosh(x) - \sinh(x)) \cosh(x)$

STEP 5

تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
$x - \ln(\cosh(x)) - \ln(2) = x - \ln(2\cosh(x))$

STEP 6

STEP 7

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionExercice 4 Simplifier l'expression 2cosh⁡2(x)−sinh⁡(2x)x−ln⁡(cosh⁡x)−ln⁡2\frac{2 \cosh ^{2}(x)-\sinh (2 x)}{x-\ln (\cosh x)-\ln 2}x−ln(coshx)−ln22cosh2(x)−sinh(2x)​ et donner ses limites en −∞-\infty−∞ et +∞+\infty+∞.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. تبسيط البسط باستخدام خصائص الدوال الزائدية.2. تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات.3. حساب الحدود عند x→−∞x \to -\inftyx→−∞ و x→+∞x \to +\inftyx→+∞.

STEP 3

STEP 4

STEP 5

تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات:x−ln⁡(cosh⁡(x))−ln⁡(2)=x−ln⁡(2cosh⁡(x)) x - \ln(\cosh(x)) - \ln(2) = x - \ln(2\cosh(x)) x−ln(cosh(x))−ln(2)=x−ln(2cosh(x))

STEP 6

STEP 7

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

QuestionExercice 4 Simplifier l'expression $\frac{2 \cosh ^{2}(x)-\sinh (2 x)}{x-\ln (\cosh x)-\ln 2}$ et donner ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ .

1. تبسيط البسط باستخدام خصائص الدوال الزائدية.
2. تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات.
3. حساب الحدود عند $x \to -\infty$ و $x \to +\infty$ .

تبسيط المقام باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
$x - \ln(\cosh(x)) - \ln(2) = x - \ln(2\cosh(x))$