Math  /  Geometry

QuestionExercice5: Soit ABCA B C un triangle tel que AB=6,AC=13A B=6, A C=\sqrt{13} et BC=7B C=7.
1: Montrer que : ABCA B C est rectangle en AA. 2: Soit HH le projeté orthogonal de AA sur (BC)(B C). . aa : Montrer que : AB×AC=AH×BCA B \times A C=A H \times B C. .b: Calculer AH,CH\mathrm{AH}, \mathrm{CH} et BH .

Studdy Solution

STEP 1

1. Le triangle ABC ABC a des côtés mesurant AB=6 AB = 6 , AC=13 AC = \sqrt{13} , et BC=7 BC = 7 .
2. Nous devons montrer que le triangle est rectangle en A A .
3. H H est le projeté orthogonal de A A sur BC BC .
4. Nous devons montrer que AB×AC=AH×BC AB \times AC = AH \times BC .
5. Nous devons calculer AH AH , CH CH , et BH BH .

STEP 2

1. Vérifier si le triangle ABC ABC est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore.
2. Montrer que AB×AC=AH×BC AB \times AC = AH \times BC en utilisant des propriétés géométriques.
3. Calculer les longueurs AH AH , CH CH , et BH BH en utilisant des relations trigonométriques et géométriques.

STEP 3

Vérifions si le triangle ABC ABC est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore. Pour cela, nous devons vérifier si AB2+AC2=BC2 AB^2 + AC^2 = BC^2 .
AB2=62=36 AB^2 = 6^2 = 36 AC2=(13)2=13 AC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13 BC2=72=49 BC^2 = 7^2 = 49
Calculons la somme des carrés des deux plus petits côtés :
AB2+AC2=36+13=49 AB^2 + AC^2 = 36 + 13 = 49
Puisque AB2+AC2=BC2 AB^2 + AC^2 = BC^2 , le triangle ABC ABC est rectangle en A A .

STEP 4

Montrons que AB×AC=AH×BC AB \times AC = AH \times BC . Nous utilisons la propriété des triangles rectangles et des projections orthogonales. Dans un triangle rectangle, le produit des longueurs des côtés adjacents à l'angle droit est égal au produit de la projection de l'un de ces côtés sur l'hypoténuse et la longueur de l'hypoténuse.

STEP 5

Calculons AH AH , CH CH , et BH BH .
Pour AH AH , nous utilisons la relation AH=AB×ACBC AH = \frac{AB \times AC}{BC} .
AH=6×137 AH = \frac{6 \times \sqrt{13}}{7}
Pour CH CH et BH BH , nous utilisons la relation que dans un triangle rectangle, CH+BH=BC CH + BH = BC et CH×BH=AH2 CH \times BH = AH^2 .
Calculons CH CH et BH BH en utilisant ces relations et les valeurs trouvées.

STEP 6

Calculons CH CH et BH BH .
Sachant que CH+BH=BC=7 CH + BH = BC = 7 et CH×BH=AH2 CH \times BH = AH^2 , nous avons :
AH=6×137 AH = \frac{6 \times \sqrt{13}}{7} AH2=(6×137)2=36×1349=46849 AH^2 = \left(\frac{6 \times \sqrt{13}}{7}\right)^2 = \frac{36 \times 13}{49} = \frac{468}{49}
Résolvons le système d'équations :
1. CH+BH=7 CH + BH = 7
2. CH×BH=46849 CH \times BH = \frac{468}{49}

En résolvant ce système, nous trouvons les valeurs de CH CH et BH BH .
La solution complète est :
AH=6×137 AH = \frac{6 \times \sqrt{13}}{7} CH et BH sont les solutions du systeˋme d’eˊquations donneˊ. CH \text{ et } BH \text{ sont les solutions du système d'équations donné.}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord