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STEP 1

1. Le triangle $ABC$ a des côtés mesurant $AB = 6$, $AC = \sqrt{13}$, et $BC = 7$.
2. Nous devons montrer que le triangle est rectangle en $A$.
3. $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $BC$.
4. Nous devons montrer que $AB \times AC = AH \times BC$.
5. Nous devons calculer $AH$, $CH$, et $BH$.

STEP 2

1. Vérifier si le triangle $ABC$ est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore.
2. Montrer que $AB \times AC = AH \times BC$ en utilisant des propriétés géométriques.
3. Calculer les longueurs $AH$, $CH$, et $BH$ en utilisant des relations trigonométriques et géométriques.

STEP 3

Vérifions si le triangle $ABC$ est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore. Pour cela, nous devons vérifier si $AB^2 + AC^2 = BC^2$.
$$AB^2 = 6^2 = 36$$ $$AC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$$ $$BC^2 = 7^2 = 49$$ Calculons la somme des carrés des deux plus petits côtés :
$$AB^2 + AC^2 = 36 + 13 = 49$$ Puisque $AB^2 + AC^2 = BC^2$, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

STEP 4

Montrons que $AB \times AC = AH \times BC$. Nous utilisons la propriété des triangles rectangles et des projections orthogonales. Dans un triangle rectangle, le produit des longueurs des côtés adjacents à l'angle droit est égal au produit de la projection de l'un de ces côtés sur l'hypoténuse et la longueur de l'hypoténuse.

STEP 5

Calculons $AH$, $CH$, et $BH$.
Pour $AH$, nous utilisons la relation $AH = \frac{AB \times AC}{BC}$.
$$AH = \frac{6 \times \sqrt{13}}{7}$$ Pour $CH$ et $BH$, nous utilisons la relation que dans un triangle rectangle, $CH + BH = BC$ et $CH \times BH = AH^2$.
Calculons $CH$ et $BH$ en utilisant ces relations et les valeurs trouvées.

Calculons $CH$ et $BH$.
Sachant que $CH + BH = BC = 7$ et $CH \times BH = AH^2$, nous avons :
$$AH = \frac{6 \times \sqrt{13}}{7}$$ $$AH^2 = \left(\frac{6 \times \sqrt{13}}{7}\right)^2 = \frac{36 \times 13}{49} = \frac{468}{49}$$ Résolvons le système d'équations :
1. $CH + BH = 7$
2. $CH \times BH = \frac{468}{49}$
En résolvant ce système, nous trouvons les valeurs de $CH$ et $BH$.
La solution complète est :
$$AH = \frac{6 \times \sqrt{13}}{7}$$ $$CH \text{ et } BH \text{ sont les solutions du système d'équations donné.}$$