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Math  /  Algebra

QuestionExpress z=2−2iz=\sqrt{2}-\sqrt{2} i in polar form.
This gives r=r= and θ=\theta= □\square π\pi, where θ∈[0,2π).\theta \in[0,2 \pi) .

Studdy Solution

STEP 1

这是什么意思？ 题目要求我们把复数 z=2−2iz = \sqrt{2} - \sqrt{2}i 从直角坐标形式转换成极坐标形式。 注意！ 小心别把 θ\theta 的取值范围搞错啦！它应该在 [0,2π)[0, 2\pi) 之间。

STEP 2

1. 计算模长 rr
2. 计算辐角 θ\theta

STEP 3

首先，我们要**计算** zz 的**模长** rr。 模长 rr 代表复数 zz 到复平面原点的距离。

STEP 4

rr 的计算公式是 r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}，其中 aa 是实部，bb 是虚部。 在这里，a=2a = \sqrt{2} 并且 b=−2b = -\sqrt{2}。

STEP 5

把 aa 和 bb 的值代入公式，我们得到： r=(2)2+(−2)2r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} r=2+2r = \sqrt{2 + 2}r=4r = \sqrt{4}r=2r = \mathbf{2}所以，zz 的模长 rr 是 **2**。

STEP 6

接下来，我们要**计算** zz 的**辐角** θ\theta。辐角 θ\theta 是从正实轴到复数 zz 的向量所成的夹角。

STEP 7

θ\theta 可以用公式 tan⁡(θ)=ba\tan(\theta) = \frac{b}{a} 来计算。记住，tan⁡(θ)\tan(\theta) 是 θ\theta 的正切值。在这里，a=2a = \sqrt{2} 和 b=−2b = -\sqrt{2}。

STEP 8

把 aa 和 bb 的值代入公式，我们得到： tan⁡(θ)=−22\tan(\theta) = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} tan⁡(θ)=−1\tan(\theta) = -1

STEP 9

因为 tan⁡(θ)=−1\tan(\theta) = -1，而且 θ\theta 的取值范围是 [0,2π)[0, 2\pi)，所以 θ\theta 可以是 3π4\frac{3\pi}{4} 或 7π4\frac{7\pi}{4}。

STEP 10

由于 z=2−2iz = \sqrt{2} - \sqrt{2}i 位于复平面的第四象限（实部为正，虚部为负），所以 θ\theta 应该是 7π4\frac{7\pi}{4}。

STEP 11

因此，θ=74π\theta = \frac{7}{4}\pi。

STEP 12

zz 的极坐标形式是 z=r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))=2(cos⁡(7π4)+isin⁡(7π4))z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = 2(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4}))。 题目中要求的 r=2r = \mathbf{2} 且 θ=74π\theta = \mathbf{\frac{7}{4}}\pi。

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