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STEP 1

1. Para o problema 1, estamos lidando com probabilidades condicionais e precisamos usar as definições e propriedades das probabilidades.
2. Para o problema 2, estamos lidando com variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidade.
3. Para o problema 3, estamos lidando com uma variável aleatória contínua e sua função densidade de probabilidade (fdp).

STEP 2

1. Resolver o problema 1 utilizando as propriedades de probabilidades condicionais.
2. Resolver o problema 2 determinando os valores de $p$ e $k$ e calculando a variância $V[X]$.
3. Resolver o problema 3 determinando a probabilidade $P(0 < x < 0,75)$ e calculando o valor médio de vendas e sua variância.

STEP 3

Dado que precisamos encontrar $P[C \mid (A \cap B)]$, usamos a definição de probabilidade condicional:
$$P[C \mid (A \cap B)] = \frac{P[C \cap (A \cap B)]}{P[A \cap B]}$$

STEP 4

Note que $P[C \cap (A \cap B)] = P[(C \cap A) \cap B]$. Podemos assumir que eventos são independentes se não houver indicação contrária, o que simplifica para:
$$P[C \cap (A \cap B)] = P[C] \cdot P[A \cap B]$$

STEP 5

Agora, usando a propriedade de independência e as probabilidades fornecidas:
$$P[C \cap (A \cap B)] = P[C] \cdot P[A] \cdot P[B]$$ $$P[C \cap (A \cap B)] = 0,7 \cdot 0,4 \cdot 0,3 = 0,084$$

STEP 6

Agora, substituímos de volta na fórmula da probabilidade condicional:
$$P[C \mid (A \cap B)] = \frac{0,084}{0,1} = 0,84$$

STEP 7

Para encontrar $p$ e $k$ no problema 2, começamos com a distribuição de probabilidade dada e a informação que $E[X] = 1$. Primeiro, expressamos $E[X]$:
$$E[X] = \sum_{i=1}^{4} x_i p_i$$ $$E[X] = (1-2k)P + (k-1)3P + kP + 2kP$$

STEP 8

Substituímos os valores de $x_i$ e $p_i$ na equação de $E[X]$:
$$1 = (1-2k)P + (k-1)3P + kP + 2kP$$ $$1 = P(1 - 2k) + 3P(k - 1) + Pk + 2Pk$$

STEP 9

Simplificamos a expressão:
$$1 = P(1 - 2k + 3k - 3 + k + 2k)$$ $$1 = P(2k - 2)$$ $$P = \frac{1}{2k-2}$$

STEP 10

Como a soma das probabilidades deve ser igual a 1, temos:
$$P + 3P + P + P = 1$$ $$6P = 1$$ $$P = \frac{1}{6}$$

STEP 11

Substituímos $P$ na equação para encontrar $k$:
$$\frac{1}{6} = \frac{1}{2k-2}$$ $$6 = 2k - 2$$ $$2k = 8$$ $$k = 4$$

STEP 12

Agora, achamos $p$ substituindo $k$:
$$P = \frac{1}{2(4) - 2} = \frac{1}{6}$$

STEP 13

Para calcular a variância $V[X]$, usamos a fórmula:
$$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$$

STEP 14

Calculamos $E[X^2]$:
$$E[X^2] = \sum_{i=1}^{4} x_i^2 p_i$$ $$E[X^2] = (1-2k)^2P + (k-1)^2 3P + k^2 P + (2k)^2 P$$

STEP 15

Substituímos os valores de $x_i$, $k$, e $P$:
$$E[X^2] = ((1-2(4))^2 + 3(4-1)^2 + 4^2 + 2(4)^2) \frac{1}{6}$$

STEP 16

Simplificamos e calculamos $E[X^2]$:
$$E[X^2] = ((-7)^2 + 3(3)^2 + 4(4) + 2(16)) \frac{1}{6}$$ $$= (49 + 27 + 16 + 32) \frac{1}{6}$$ $$= 124 \frac{1}{6}$$ $$= 20.67$$

STEP 17

Calculamos a variância usando $E[X] = 1$:
$$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 20.67 - 1 = 19.67$$

STEP 18

Para o problema 3a, integramos a fdp dentro do intervalo dado:
$$P(0 < x < 0.75) = \int_{0}^{0.75} 6x(1-x) \, dx$$

STEP 19

Calculamos a integral:
$$\int_{0}^{0.75} 6x(1-x) \, dx = \int_{0}^{0.75} (6x - 6x^2) \, dx$$

STEP 20

Integramos e avaliamos os limites:
$$\left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_{0}^{0.75}$$ $$= 3(0.75)^2 - 2(0.75)^3 - (3(0)^2 - 2(0)^3)$$ $$= 3(0.5625) - 2(0.421875)$$ $$= 1.6875 - 0.84375$$ $$= 0.84375$$

STEP 21

Para o problema 3b, calculamos o valor esperado $E[X]$ usando:
$$E[X] = \int_{0}^{1} x f(x) \, dx$$

STEP 22

Substituímos a fdp e integramos:
$$E[X] = \int_{0}^{1} x 6x(1-x) \, dx$$ $$= \int_{0}^{1} 6x^2(1-x) \, dx$$ $$= \int_{0}^{1} (6x^2 - 6x^3) \, dx$$

STEP 23

Calculamos a integral:
$$\left[ 2x^3 - \frac{3}{2}x^4 \right]_{0}^{1}$$ $$= 2(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^4 - (2(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^4)$$ $$= 2 - 1.5$$ $$= 0.5$$

STEP 24

Para calcular a variância $V[X]$, precisamos de $E[X^2]$:
$$E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 f(x) \, dx$$

STEP 25

Substituímos a fdp e integramos:
$$E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 6x(1-x) \, dx$$ $$= \int_{0}^{1} 6x^3(1-x) \, dx$$ $$= \int_{0}^{1} (6x^3 - 6x^4) \, dx$$

STEP 26

Calculamos a integral:
$$\left[ \frac{3}{2}x^4 - \frac{6}{5}x^5 \right]_{0}^{1}$$ $$= \frac{3}{2}(1)^4 - \frac{6}{5}(1)^5 - (\frac{3}{2}(0)^4 - \frac{6}{5}(0)^5)$$ $$= 1.5 - 1.2$$ $$= 0.3$$

Calculamos a variância usando $E[X] = 0.5$:
$$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$$ $$V[X] = 0.3 - (0.5)^2$$ $$V[X] = 0.3 - 0.25$$ $$V[X] = 0.05$$ Soluções:
1. $P[C \mid (A \cap B)] = 0,84$
2. $p = \frac{1}{6}, k = 4, V[X] = 19.67$
3. $P(0 < x < 0.75) = 0.84375, E[X] = 0.5, V[X] = 0.05$