Math  /  Calculus

QuestionFind a function FF such that F=f\mathbf{F} = \nabla f, where F(x,y)=2x,4y\mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 4y \rangle, and CC is the arc of the parabola x=y2x = y^2 from (4,2)(4, -2) to (1,1)(1, 1).

Studdy Solution

STEP 1

1. La función vectorial F(x,y)=2x,4y\mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 4y \rangle es un campo vectorial.
2. Queremos encontrar una función escalar ff tal que F=f\mathbf{F} = \nabla f.
3. La curva CC es el arco de la parábola x=y2x = y^2 desde el punto (4,2)(4, -2) hasta (1,1)(1, 1).

STEP 2

1. Verificar si F\mathbf{F} es un campo conservativo.
2. Encontrar la función potencial f(x,y)f(x, y).
3. Calcular el trabajo a lo largo de la curva CC.

STEP 3

Verificar si F\mathbf{F} es un campo conservativo comprobando si el rotacional es cero.
El rotacional de un campo vectorial F=P,Q\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle es:
QxPy \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}
Para F(x,y)=2x,4y\mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 4y \rangle:
P=2x,Q=4y P = 2x, \quad Q = 4y
Calcular las derivadas parciales:
Qx=(4y)x=0 \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (4y)}{\partial x} = 0 Py=(2x)y=0 \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (2x)}{\partial y} = 0
Entonces:
QxPy=00=0 \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 0 = 0
El campo es conservativo.

STEP 4

Encontrar la función potencial f(x,y)f(x, y) tal que f=F\nabla f = \mathbf{F}.
Dado que f=fx,fy=2x,4y\nabla f = \langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \rangle = \langle 2x, 4y \rangle, tenemos:
fx=2x \frac{\partial f}{\partial x} = 2x fy=4y \frac{\partial f}{\partial y} = 4y
Integrar fx=2x\frac{\partial f}{\partial x} = 2x respecto a xx:
f(x,y)=2xdx=x2+g(y) f(x, y) = \int 2x \, dx = x^2 + g(y)
donde g(y)g(y) es una función de yy.

STEP 5

Derivar f(x,y)=x2+g(y)f(x, y) = x^2 + g(y) respecto a yy:
fy=g(y)=4y \frac{\partial f}{\partial y} = g'(y) = 4y
Integrar g(y)=4yg'(y) = 4y respecto a yy:
g(y)=4ydy=2y2+C g(y) = \int 4y \, dy = 2y^2 + C
donde CC es una constante.
Por lo tanto, la función potencial es:
f(x,y)=x2+2y2+C f(x, y) = x^2 + 2y^2 + C

STEP 6

Calcular el trabajo a lo largo de la curva CC usando la función potencial.
Dado que el campo es conservativo, el trabajo es la diferencia de potencial entre los puntos finales:
W=f(1,1)f(4,2) W = f(1, 1) - f(4, -2)
Calcular f(1,1)f(1, 1):
f(1,1)=12+2(1)2+C=1+2+C=3+C f(1, 1) = 1^2 + 2(1)^2 + C = 1 + 2 + C = 3 + C
Calcular f(4,2)f(4, -2):
f(4,2)=42+2(2)2+C=16+8+C=24+C f(4, -2) = 4^2 + 2(-2)^2 + C = 16 + 8 + C = 24 + C
Calcular el trabajo:
W=(3+C)(24+C)=3+C24C=21 W = (3 + C) - (24 + C) = 3 + C - 24 - C = -21
El trabajo realizado a lo largo de la curva CC es:
21 \boxed{-21}

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