Math / Trigonometry

Question $\cos x \sin x=0$

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci sta chiedendo? Trovare tutti i valori di $x$ per cui il prodotto di coseno di $x$ e seno di $x$ è uguale a zero. Attenzione! Non pensare che sia sufficiente che $x$ sia zero!
Dobbiamo considerare tutti gli angoli dove il seno o il coseno sono zero.

STEP 2

1. Analizzare il prodotto
2. Trovare le soluzioni per il seno
3. Trovare le soluzioni per il coseno
4. Combinare le soluzioni

STEP 3

Abbiamo l'equazione $\cos x \cdot \sin x = 0$ .
Un prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero.
Fantastico! Quindi, dobbiamo trovare dove $\sin x = 0$ oppure dove $\cos x = 0$ .

STEP 4

Dove $\sin x = 0$ ?
Pensiamo al cerchio unitario!
Il seno è la coordinata y.
Quindi, $\sin x = 0$ quando $x$ è un multiplo intero di $\pi$ , cioè $x = n\pi$ , dove $n$ è un intero.
Bellissimo!

STEP 5

Ora, dove $\cos x = 0$ ?
Di nuovo, pensiamo al cerchio unitario!
Il coseno è la coordinata x.
Quindi, $\cos x = 0$ quando $x$ è un multiplo intero dispari di $\frac{\pi}{2}$ , cioè $x = \frac{(2n+1)\pi}{2}$ , dove $n$ è un intero.
Spettacolare!

STEP 6

Abbiamo trovato che $\sin x = 0$ per $x = n\pi$ e $\cos x = 0$ per $x = \frac{(2n+1)\pi}{2}$ .
Queste sono tutte le soluzioni che stavamo cercando!
Possiamo anche notare che le soluzioni per il coseno sono "contenute" nelle soluzioni per il seno.
Ad esempio, se $n=0$ , $x=0$ , e se $n=1$ , $x=\pi$ .
Se invece prendiamo $n=0$ per il coseno, otteniamo $x = \frac{\pi}{2}$ , e se $n=1$ otteniamo $x = \frac{3\pi}{2}$ .
Quindi, possiamo esprimere tutte le soluzioni semplicemente con $x = \frac{n\pi}{2}$ , dove $n$ è un intero.
Geniale!

STEP 7

Tutte le soluzioni dell'equazione $\cos x \cdot \sin x = 0$ sono date da $x = \frac{n\pi}{2}$ , dove $n$ è un numero intero.

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