Math Snap

STEP 1

Cosa ci sta chiedendo?
Trovare tutti i valori di $x$ per cui il prodotto di coseno di $x$ e seno di $x$ è uguale a zero.
Attenzione!
Non pensare che sia sufficiente che $x$ sia zero!
Dobbiamo considerare tutti gli angoli dove il seno o il coseno sono zero.

STEP 2

1. Analizzare il prodotto
2. Trovare le soluzioni per il seno
3. Trovare le soluzioni per il coseno
4. Combinare le soluzioni

STEP 3

Abbiamo l'equazione $\cos x \cdot \sin x = 0$.
Un prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero.
Fantastico! Quindi, dobbiamo trovare dove $\sin x = 0$ oppure dove $\cos x = 0$.

STEP 4

Dove $\sin x = 0$?
Pensiamo al cerchio unitario!
Il seno è la coordinata y.
Quindi, $\sin x = 0$ quando $x$ è un multiplo intero di $\pi$, cioè $x = n\pi$, dove $n$ è un intero.
Bellissimo!

STEP 5

Ora, dove $\cos x = 0$?
Di nuovo, pensiamo al cerchio unitario!
Il coseno è la coordinata x.
Quindi, $\cos x = 0$ quando $x$ è un multiplo intero dispari di $\frac{\pi}{2}$, cioè $x = \frac{(2n+1)\pi}{2}$, dove $n$ è un intero.
Spettacolare!

STEP 6

Abbiamo trovato che $\sin x = 0$ per $x = n\pi$ e $\cos x = 0$ per $x = \frac{(2n+1)\pi}{2}$.
Queste sono tutte le soluzioni che stavamo cercando!
Possiamo anche notare che le soluzioni per il coseno sono "contenute" nelle soluzioni per il seno.
Ad esempio, se $n=0$, $x=0$, e se $n=1$, $x=\pi$.
Se invece prendiamo $n=0$ per il coseno, otteniamo $x = \frac{\pi}{2}$, e se $n=1$ otteniamo $x = \frac{3\pi}{2}$.
Quindi, possiamo esprimere tutte le soluzioni semplicemente con $x = \frac{n\pi}{2}$, dove $n$ è un intero.
Geniale!

Tutte le soluzioni dell'equazione $\cos x \cdot \sin x = 0$ sono date da $x = \frac{n\pi}{2}$, dove $n$ è un numero intero.