Question Find the derivative $k'(x)$ of $k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2})$ .

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen
1. Die Funktion $k(x)$ ist gegeben durch $k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2})$ .
2. Wir sollen die Ableitung $k'(x)$ der Funktion $k(x)$ finden.
3. Die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen kann mit der Produktregel gefunden werden.
4. Die Ableitung einer Wurzelfunktion kann durch Umformung in eine Potenzfunktion und Anwendung der Kettenregel gefunden werden.

STEP 2

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts $u(x) \cdot v(x)$ gegeben ist durch $u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ .

STEP 3

Identifiziere die beiden Funktionen, die das Produkt bilden. Setze $u(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}}$ und $v(x) = 4 x^{3} - 7 x^{2}$ .

STEP 4

Die Funktion $u(x)$ kann umgeformt werden in eine Potenzfunktion: $u(x) = (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}$ .

STEP 5

Die Ableitung von $v(x)$ kann direkt berechnet werden, da es sich um ein Polynom handelt. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von $x^n$ gleich $n \cdot x^{n-1}$ ist.

STEP 6

Berechne die Ableitung von $v(x)$ :
$v'(x) = \frac{d}{dx}(4 x^{3} - 7 x^{2}) = 12 x^{2} - 14 x$

STEP 7

Um die Ableitung von $u(x)$ zu finden, verwenden wir die Kettenregel, die besagt, dass die Ableitung von $f(g(x))$ gleich $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ist.

STEP 8

Identifiziere die äußere Funktion $f(z) = z^{\frac{1}{6}}$ und die innere Funktion $g(x) = -4 x^{2} + 10 x^{3}$ .

STEP 9

Berechne die Ableitung der äußeren Funktion $f'(z) = \frac{1}{6} z^{-\frac{5}{6}}$ .

STEP 10

Berechne die Ableitung der inneren Funktion $g'(x) = \frac{d}{dx}(-4 x^{2} + 10 x^{3}) = -8 x + 30 x^{2}$ .

STEP 11

Setze die Ableitungen in die Kettenregel ein, um $u'(x)$ zu finden:
$u'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})$

STEP 12

Jetzt haben wir $u'(x)$ und $v'(x)$ . Wir setzen diese in die Produktregel ein, um $k'(x)$ zu finden:
$k'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

STEP 13

Setze die berechneten Ableitungen und Funktionen in die Produktregel ein:
$k'(x) = \left(\frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})\right) \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2}) + \left((-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}\right) \cdot (12 x^{2} - 14 x)$

STEP 14

Vereinfache den Ausdruck, indem du gleichartige Terme zusammenfasst und die Potenzgesetze anwendest.

STEP 15

Die Ableitung $k'(x)$ ist nun vollständig berechnet und vereinfacht.

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