Question Find the inverse of the $2 \times 2$ matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ .

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات
1. $A$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية.
2. $A^{-1}$ هي المصفوفة العكسية لمصفوفة $A$ .
3. لكي تكون لمصفوفة $A$ مصفوفة عكسية، يجب أن يكون محدد $A$ غير صفري.
4. يتم حساب المصفوفة العكسية باستخدام القاعدة:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$
حيث $\det(A)$ هو محدد المصفوفة $A$ ، و $\text{adj}(A)$ هو مصفوفة المرافقة لـ $A$ .

STEP 2

أولاً، نحسب محدد المصفوفة $A$ .
$\det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right|$

STEP 3

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:
$\det(A) = (1)(1) - (-1)(-2)$

STEP 4

نحسب القيمة العددية للمحدد:
$\det(A) = 1 - 2 = -1$

STEP 5

بما أن محدد $A$ غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية $A^{-1}$ .

STEP 6

نحسب مصفوفة المرافقة $\text{adj}(A)$ للمصفوفة $A$ . مصفوفة المرافقة تتكون من القيم القاصرة مع تغيير الإشارات بالتبادل.
$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 7

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$

STEP 8

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 9

نحسب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$
إذاً، المصفوفة العكسية للمصفوفة $A$ هي:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$

Was this helpful?

Question Find the inverse of the $2 \times 2$ matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ .

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

أولاً، نحسب محدد المصفوفة $A$ .
$\det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right|$

STEP 3

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:
$\det(A) = (1)(1) - (-1)(-2)$

STEP 4

نحسب القيمة العددية للمحدد:
$\det(A) = 1 - 2 = -1$

STEP 5

بما أن محدد $A$ غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية $A^{-1}$ .

STEP 6

نحسب مصفوفة المرافقة $\text{adj}(A)$ للمصفوفة $A$ . مصفوفة المرافقة تتكون من القيم القاصرة مع تغيير الإشارات بالتبادل.
$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 7

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$

STEP 8

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 9

نحسب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$
إذاً، المصفوفة العكسية للمصفوفة $A$ هي:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question Find the inverse of the 2×22 \times 22×2 matrix A=[1−1−21]A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}A=[1−2​−11​].

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

أولاً، نحسب محدد المصفوفة A A A.det⁡(A)=∣1−1−21∣ \det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right| det(A)=∣∣​1−2​−11​∣∣​

STEP 3

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:det⁡(A)=(1)(1)−(−1)(−2) \det(A) = (1)(1) - (-1)(-2) det(A)=(1)(1)−(−1)(−2)

STEP 4

نحسب القيمة العددية للمحدد:det⁡(A)=1−2=−1 \det(A) = 1 - 2 = -1 det(A)=1−2=−1

STEP 5

بما أن محدد A A A غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية A−1 A^{-1} A−1.

STEP 6

STEP 7

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:A−1=1det⁡(A)⋅adj(A) A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) A−1=det(A)1​⋅adj(A)

STEP 8

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:A−1=1−1⋅[+1+2+1+1] A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right] A−1=−11​⋅[+1+1​+2+1​]

STEP 9

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question Find the inverse of the $2 \times 2$ matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ .

أولاً، نحسب محدد المصفوفة $A$ .
$\det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right|$

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:
$\det(A) = (1)(1) - (-1)(-2)$

نحسب القيمة العددية للمحدد:
$\det(A) = 1 - 2 = -1$

بما أن محدد $A$ غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية $A^{-1}$ .

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$